Sıfırdan Variance Gamma
1/5Zamanın kendisi rastgeledir
Variance Gamma radikal bir fikirle başlar: difüzyona sıçrama eklemek yerine zamanın kendisini stokastik yapın. Brown hareketi rastgele bir saat üzerinde çalışır.
Sıradan Brown hareketi takvim zamanını kullanır: saniyede bir saniye, amansızca tekdüze. VG, piyasanın kendi iç saati olduğunu söyler — bir gama süreci G(t) — bu saat bazen ileri fırlar, bazen sürünür. Saat hızlı çalıştığında Brown hareketi daha fazla “efektif zaman” kazanır ve büyük hareketler yapar. Saat rölantide çalıştığında fiyat neredeyse hiç kımıldamaz.
Sonuç: sıçrama büyüklüğü dağılımını açıkça belirtmeye gerek kalmadan, kalın kuyruklar saatin rastgeleliğinden doğal olarak ortaya çıkar. Hızlı saat dönemleri büyük hareket kümeleri yaratır. Yavaş dönemler tekinsiz bir sakinlik yaratır. Bu, sığ kripto emir defterlerinin gerçekte nasıl göründüğüyle örtüşür — uzun süre hiçbir şey olmaz, sonra ani aktivite patlamaları gelir.
G(t) — ortalama oranı 1 ve varyans oranı ν olan gama süreci. Rastgele saat budur.
θ — saat içindeki drift (skew yaratır).
σ — saat içindeki difüzyon oynaklığı.
Aşağıda, üst panel gama süreci G(t)'yi — rastgele saati — gösterir. Kesikli çizgi takvim zamanıdır (düz köşegen). G(t) köşegenin üzerine sıçradığında zaman hızlı akıyordur. Alt panel, ortaya çıkan VG sürecini gösterir — rastgele zaman G(t)'de değerlendirilmiş Brown hareketi.
Saati daha düzensiz yapmak için ν'yü yükseltin. VG sürecinin nasıl vahşileştiğini izleyin — daha büyük hareketler, daha fazla kümelenme. Kalın kuyruk mekanizması budur.
Oynatma hızı değişken bir film düşünün. Bazı sahneler ağır çekimde oynar (sakin piyasa). Bazı sahneler ileri sarılır (panik satışı, likidasyon kaskadları). Alttaki film sıradan Brown hareketidir. Hız kontrolü gama sürecidir. Seyircinin gördüğü — VG süreci — hız değişimlerinin tüm dramını içinde barındırır.
Üç parametre
VG, tüm smile modelleri içinde en temiz parametre yorumuna sahiptir. Her parametre tam olarak bir istatistiksel momente karşılık gelir. Fazlalık yok, korelasyon baş ağrısı yok.
σ (sigma) — difüzyon oynaklığı. Rastgele saat içindeki Brown hareketinin oynaklığı. Smile'ın genel seviyesini kontrol eder. Daha yüksek σ her şeyi yukarı kaldırır. Bu, Black-Scholes oynaklığının karşılığıdır.
θ (theta) — subordine BM'deki drift. Skew'i kontrol eder. Eğer θ < 0 ise süreç rastgele saat içinde aşağı doğru sürüklenir ve smile eğilir — put kanadı call kanadından daha diktir. Eğer θ = 0 ise smile simetriktir.
ν (nu) — gama zamanının varyansı. Aşırı basıklığı (kuyruk kalınlığını) kontrol eder. Daha yüksek ν saati daha rastgele yapar; bu da daha kalın kuyruklar ve her iki tarafta daha dik kanatlar yaratır. VG'yi Black-Scholes'tan ayıran parametre budur.
Üç deney:
1. Set θ = 0, ν = 0.01. Neredeyse düz smile — Black-Scholes'a yakın. Saat neredeyse deterministik.
2. Set θ = −0.15, ν = 0.20. Orta düzeyde basıklıkla negatif skew. Klasik kripto smile şekli.
3. Set θ = 0, ν = 0.50. Simetrik ama aşırı basıklık. İki kanat da yukarı fırlar. “Kara kuğu rejimi.”
σ → varyans (2. moment). θ → çarpıklık (3. moment). ν → aşırı basıklık (4. moment). Bu, herhangi bir sıçrama veya stokastik oynaklık modelindeki en temiz smile şekli ayrımıdır. Heston'da aralarında korelasyon bulunan 5 parametre vardır. VG'de 3 ortogonal kontrol vardır.
Aslında saf bir sıçrama sürecidir
Zaman değişimli Brown hareketi gibi görünmesine rağmen (pürüzsüz + gerilmiş), VG yolları teknik olarak saf sıçramadır. Her hareket bir sıçramadır. Takvim zamanında sürekli bir difüzyon bileşeni yoktur.
Bu, felsefi olarak Merton'dan farklıdır. Merton'da fiyat çoğu zaman pürüzsüzce hareket eder (difüzyon), arada büyük sıçramalar olur. VG'de tüm hareketler süreksizdir. Süreçte sonsuz aktivite (herhangi bir aralıkta sonsuz sayıda sıçrama) ama sonlu varyasyon vardır (toplam sıçrama büyüklüğü sınırlıdır).
Bu sıçramaların çoğu miniciktir. Birkaçı büyüktür. Çok sayıda minik sıçrama limitinde yol neredeyse sürekli görünür — pürüzsüz bir eğriyle iyi yaklaşıklanır. Ama yeterince yakınlaştırırsanız her hareket teknik olarak bir sıçramadır. Bitişik iki fiyat, sürekli bir yolla birbirine bağlı değildir.
Sol panel, basamak fonksiyonu olarak çizilmiş bir VG yolunu gösterir — her zaman adımı ayrı bir sıçramadır. Sağ panel, nadir büyük sıçramalar (kırmızı çubuklar) arasında pürüzsüz difüzyon içeren bir Merton yolunu gösterir. Yeniden Oluştur'a basın ve karşılaştırın:
VG: sürekli küçük sıçramalar, ara sıra büyük olanlar. Pürüzsüz bölüm yok. Yol her yerde kıpırdanır.
Merton: ani dikey sıçramalarla kesilen uzun pürüzsüz bölümler. Açıkça ayrışan iki rejim (sakinlik vs şok).
Saf sıçrama dünyasında delta hedge yapısı gereği kusurludur — fiyatın kendisi süreksiz olduğu için sürekli işlem yapamazsınız. Bu aslında, difüzyon kısmını mükemmel şekilde hedge edebileceğinizi ve yalnızca nadir sıçramaların hedge edilemez olduğunu iddia eden Merton'dan daha dürüsttür. Sığ kripto emir defterlerinde her gerçekleşen işlem fiilen bir sıçramadır. VG bu gerçeği kabul eder.
Karakteristik fonksiyon
VG'nin temiz, kapalı formda bir karakteristik fonksiyonu vardır. Fourier fiyatlamasını pratik kılan budur — Avrupa tipi opsiyonları Monte Carlo olmadan hızlı ve kesin fiyatlayabilirsiniz.
σ, u² terimi üzerinden girer (varyans katkısı).
θ, iu terimi üzerinden girer (sanal kısım aracılığıyla skew).
ν, üs −T/ν ve taban üzerinden girer (basıklık).
When ν → 0: the exponent → −∞, ve CF, BS lognormal CF'sine yakınsar. VG, BS'yi bir limit durumu olarak kapsar.
Fiyatlama iş akışı: bu CF'yi alın, Carr-Madan (1999) formülüne veya COS yöntemine koyun ve Hızlı Fourier Dönüşümü uygulayın. Tüm kullanım fiyatları için opsiyon fiyatlarını tek seferde elde edersiniz — kullanım fiyatı başına hesaplama yok, simülasyon gürültüsü yok.
Üs −T/ν negatiftir ve T büyüdükçe daha da negatifleşir. Bu, CF'nin daha uzun vadelerde daha hızlı sönümlendiği anlamına gelir; bu da VG smile'ının zamanla düzleşmesine karşılık gelir. Saat rastgeleliği uzun ufuklarda ortalamaya döner — doğal bir vade yapısı etkisi.
Pratikte VG
VG endüstri standardı değildir — Bates (Heston + sıçramalar) hisse senedi ve kripto masalarına hakimdir. Ama VG'nin bağımlılaştırma fikri her yerde karşımıza çıkar ve modelin belirli nişleri vardır.
Kredi türevleri: VG başlangıçta kredi modellemede popülerdi. Temerrüt bir sıçrama olayıdır. VG'nin saf sıçrama doğası, süreksiz getirileri temiz bir şekilde ele alır. Madan, Carr ve Chang (1998), VG'yi kısmen kredi göz önünde bulundurarak tanıttı.
Basit smile gereksinimli hisse senedi egzotik ürünleri: Net moment yorumuna sahip 3 parametreli bir smile uyumu gerektiğinde VG'yi geçmek zordur. Her parametrenin etkisi belirsizliğe yer bırakmadığı için kalibrasyon hızlıdır.
Sığ paritelerde kripto: likit olmayan kripto çiftleri düzgün şekilde yayılmaz — emirler doldukça bir fiyattan diğerine boşluk yaparlar. VG'nin saf sıçrama karakteri, bu fiyat hareketinin herhangi bir difüzyon modelinden daha dürüst bir tarifidir.
Subordinasyon fikri: takvim zamanını rastgele bir saatle değiştirme kavramı temel niteliktedir. Stokastik saatlerde, iş zamanı modellerinde, aktivite tabanlı modellerde ve CGMY'de (VG'nin bir genellemesi) karşınıza çıkar. Hiç VG opsiyonu fiyatlamasanız bile, zaman değişimlerini anlamak diğer tüm modelleri daha anlaşılır kılar.
Black-Scholes: düz smile. Sürekli yollar. 1 parametre.
Merton: nadir büyük sıçramalardan gelen smile. Pürüzsüz difüzyon + Poisson sıçramaları. 4 parametre.
Kou: asimetrik sıçramalardan gelen smile. Bağımsız kanat kontrolü. 5 parametre.
Variance Gamma: rastgele bir saatten gelen smile. Saf sıçrama, difüzyon yok. 3 parametre, moment başına bir tane.
Heston: stokastik oynaklıktan gelen smile. Sürekli yollar. 5 parametre.
Bates: Heston + Merton sıçramaları. Sektörün iş atı. 8 parametre.
Sonraki adımlar:
Merton Sıçrama-Difüzyonu — difüzyon + nadir büyük sıçramalar
Kou Sıçrama-Difüzyonu — bağımsız kanatlı asimetrik sıçramalar
Heston Modeli — stokastik oynaklık, smile'lara diğer yaklaşım
Bates Modeli — Heston + sıçramalar: sektörün iş atı