Sıfırdan Vanna-Volga

1/5

Bölüm 1

Üç likit opsiyon her şeyi fiyatlar

Vanna-Volga, smile'ın tamamını oluşturmak için tam olarak üç piyasa kotasyonu kullanır: 25Δ satım opsiyonu, ATM straddle ve 25Δ alım opsiyonu. Girdinin tamamı bu kadardır. Geri kalan her şey buradan türetilir.

FX piyasalarında dealer'lar opsiyon fiyatlarını kullanım fiyatına göre kote etmez. Üç sayı kote ederler:

ATM vol (σ_ATM). Başabaş (ATM) straddle oynaklığı. Bu, smile'ın genel seviyesini belirler.

25Δ risk reversal (RR). 25 delta alım opsiyonu oynaklığı ile 25 delta satım opsiyonu oynaklığı arasındaki fark. Bu, skew'i -- smile'ın ne kadar eğildiğini -- yakalar.

25Δ butterfly (BF). 25 delta satım ve alım opsiyonu oynaklıklarının ortalaması eksi ATM oynaklığı. Bu, eğriliği -- her iki kanadın ATM'nin ne kadar üzerine çıktığını -- yakalar.

Bu üç sayıdan tekil oynaklıkları geri elde edebilirsiniz:

Üç oynaklığın geri elde edilmesi

σ_25P = σ_ATM + BF − RR/2

σ_25C = σ_ATM + BF + RR/2

RR > 0 olması alım opsiyonlarının satımlardan daha pahalı olduğu anlamına gelir (pozitif skew). BF > 0 olması kanatların ATM'nin üzerinde olduğu anlamına gelir (pratikte her zaman böyledir).

Vanna-Volga yöntemi bu üç likit referans noktasını alır ve şu soruyu sorarak tam bir smile oluşturur: herhangi bir hedef opsiyonun smile riskini bu üç enstrümanla hedge etmenin en ucuz yolu nedir?

Zihinsel model

ATM, RR ve BF'yi bir mikser masasındaki üç düğme olarak düşünün. ATM ana ses seviyesidir. RR denge kontrolüdür (sol/sağ). BF ses yükseltmesidir (her iki taraf). Üç düğme, tek bir smile.

Bölüm 2

Vanna ve volga nedir?

Vanna ve volga, Black-Scholes'un yokmuş gibi davrandığı iki ikinci dereceden Greek'tir. Smile riskine duyarlılığı ölçerler -- spot ile oynaklık arasındaki çapraz etki (vanna) ve oynaklıktaki konveksite (volga).

Vanna = ∂²V / ∂S∂σ. Bu, deltanın oynaklık değişimlerine duyarlılığıdır; eşdeğer olarak, veganın spot değişimlerine duyarlılığıdır. Oynaklık hareket ettiğinde delta kayar. Spot hareket ettiğinde vega kayar. Her iki etki de vannadır.

Vanna en büyük değerine ATM yakınında ulaşır ve forward etrafında anti-simetrik bir profil izler. Satım opsiyonları (sol kanat) için vanna pozitiftir: oynaklık yükseldiğinde satım opsiyonunun deltası daha negatif hale gelir (olasılık uzayında daha da karda). Alım opsiyonları (sağ kanat) için vanna negatiftir.

Volga = ∂²V / ∂σ². Bu, oynaklık gamasıdır -- opsiyon fiyatının oynaklığa göre konveksitesi. Pozitif volgaya sahip bir opsiyon, oynaklığın her iki yöne hareketinden de fayda sağlar.

Volga en büyük değerine kanatlarda ulaşır ve forward etrafında simetriktir. Derin OTM satım ve derin OTM alım opsiyonlarının her ikisi de büyük pozitif volgaya sahiptir. ATM opsiyonların volgası sıfıra yakındır.

Vanna ve Volga Profilleri

Vanna (∂²V/∂S∂σ) -- ATM yakınında zirve yapar, anti-simetrik

Volga (∂²V/∂σ²) -- her iki kanatta zirve yapar, simetrik

Yukarıdaki grafik, kullanım fiyatları boyunca iki profili gösterir. Black-Scholes düz bir smile varsayar, bu yüzden vanna ve volga maruziyetini sıfır maliyetle fiyatlar. Ama smile'ın olduğu gerçek bir piyasada vanna ve volga maruziyeti taşımak bedava değildir -- bir maliyeti vardır ve bu maliyet tam olarak Vanna-Volga'nın hesapladığı smile düzeltmesidir.

Neden bu iki Greek?

Delta ve gama, Black-Scholes'un ele aldığı birinci dereceden etkilerdir. Vega da BS'nin ele aldığı birinci dereceden bir oynaklık duyarlılığıdır (model oynaklığı sabit varsaysa da yine de bir vegası vardır). İkinci dereceden oynaklık etkileri -- deltanın oynaklıkla nasıl değiştiği (vanna) ve veganın oynaklıkla nasıl değiştiği (volga) -- tam olarak smile'ın kodladığı şeydir. Smile, piyasanın vanna ve volga riskini fiyatlamasından başka bir şey değildir.

Bölüm 3

Replikasyon argümanı

İşte temel fikir: hedef opsiyonun vanna ve volgasıyla eşleşen, üç likit referans opsiyondan oluşan bir portföy kurun. Bu hedge portföyünün maliyeti -- Black-Scholes değerinin üzerindeki kısım -- smile düzeltmesidir.

K gibi keyfi bir kullanım fiyatındaki bir hedef opsiyonla başlayın. Black-Scholes altında (ATM oynaklığını kullanarak) vanna ve volgasını hesaplayın. Şimdi üç referans opsiyon için öyle ağırlıklar (x₁, x₂, x₃) bulun ki:

Replikasyon koşulları

x₁·Vanna_25P + x₂·Vanna_ATM + x₃·Vanna_25C = Vanna_target

x₁·Volga_25P + x₂·Volga_ATM + x₃·Volga_25C = Volga_target

x₁·Vega_25P + x₂·Vega_ATM + x₃·Vega_25C = Vega_target

Üç denklem, üç bilinmeyen. Üçüncü koşul (vega eşleştirmesi), hedge'in paralel oynaklık kaymaları için de doğru olmasını sağlar.

Ağırlıkları elde ettikten sonra VV fiyatı şudur:

Vanna-Volga fiyatlaması

C_VV = C_BS + Σ xᵢ · (Cᵢ^mkt − Cᵢ^BS)

BS fiyatıyla başlayın. Üç referansı kullanarak smile riskini hedge etmenin maliyetini ekleyin. Her referansın "smile maliyeti", piyasa fiyatı ile BS fiyatı arasındaki farktır.

Üç Noktalı Replikasyon

Hedef kullanım fiyatı95

25Δ Put ağırlığı

0.487

ATM ağırlığı

0.513

25Δ Call ağırlığı

0.000

Yukarıdaki araçta hedef kullanım fiyatını sürükleyin. Replikasyon ağırlıklarının nasıl değiştiğini izleyin:

Hedef 25Δ satım opsiyonuna yakın: Ağırlığın neredeyse tamamı satım referansına gider. ATM ve alım referanslarının katkısı azdır.

Hedef ATM yakınında: ATM referansı baskındır. BS ATM'de neredeyse doğru olduğu için düzeltme küçüktür.

Hedef referanslar arasında: Ağırlıklar düzgün bir şekilde interpole edilir. Herhangi bir ara kullanım fiyatındaki smile, üç referans noktasının ağırlıklı bir kombinasyonudur.

Bölüm 4

Formül

Replikasyon ağırlıklarını açıkça çözdüğünüzde VV düzeltmesi iki terime temiz bir şekilde ayrılır: skew yaratan bir vanna düzeltmesi ve eğrilik yaratan bir volga düzeltmesi.

VV ayrıştırması

C_VV = C_BS + Δvanna · (σ_25P − σ_ATM) + Δvolga · (σ_25C − σ_ATM)

Vanna terimi: risk reversal ile orantılıdır. Anti-simetriktir -- satım opsiyonlarına ekler, alım opsiyonlarından çıkarır.
Volga terimi: butterfly ile orantılıdır. Simetriktir -- her iki kanada eşit miktarda ekler.

Yöntemin Vanna-Volga olarak adlandırılmasının nedeni bu ayrıştırmadır. Smile düzeltmesinin tamamı iki etkiyle açıklanır:

Vanna düzeltmesi ATM etrafında anti-simetriktir. Risk reversal kotasyonu tarafından belirlenir. Piyasa büyük negatif bir RR kote ettiğinde (satım opsiyonları alımlardan daha pahalı), vanna düzeltmesi smile'ı sola eğer. Derin OTM satım opsiyonları için düzeltme en büyük ve pozitiftir (prim ekler). Derin OTM alım opsiyonları için negatiftir (prim düşer).

Volga düzeltmesi ATM etrafında simetriktir. Butterfly kotasyonu tarafından belirlenir. Piyasa büyük bir BF kote ettiğinde volga düzeltmesi her iki kanadı da yükseltir. ATM etkilenmez (volga orada sıfıra yakındır). Kanatlara doğru ilerledikçe düzeltme büyür.

Düzeltme dökümü: BS + Vanna + Volga = VV

Vanna düzeltmesi (anti-simetrik — skew oluşturur)

Volga düzeltmesi (simetrik — eğrilik oluşturur)

Toplam VV düzeltmesi

Yukarıdaki yığılmış çubuk grafik, her iki düzeltmeyi kullanım fiyatları boyunca gösterir. Dikkat edin:

Grafikteki mavi çubuklar (vanna) solda negatif, sağda pozitiftir -- bu skew bileşenidir.

Grafikteki turuncu çubuklar (volga) kanatların her yerinde pozitiftir -- bu eğrilik bileşenidir.

Grafikteki yeşil çizgi toplam düzeltmedir. Satım tarafında vanna ve volga birbirini güçlendirir (ikisi de prim ekler). Alım tarafında kısmen birbirini götürür (vanna düşer, volga ekler). Satım kanatlarının genellikle alım kanatlarından daha dik olmasının nedeni budur.

Bölüm 5

FX masaları buna bayılır, hisse senedi masaları sevmez

Vanna-Volga, döviz piyasasında baskın smile modelidir çünkü FX piyasası ATM, RR ve BF'yi tam anlamıyla kote eder. Modelin girdileri, piyasanın ana dilidir. Hisse senedi ve kriptoda ise piyasa doğrudan kullanım fiyatlarını kote eder ve VV'nin üç nokta varsayımı fazla katıdır.

FX neden sever: Bankalar arası FX opsiyon piyasası, doğrudan Vanna-Volga girdilerine karşılık gelen kotasyon konvansiyonlarında standartlaşmıştır. Bir dealer ATM = 8.2, RR = -1.3, BF = 0.4 gördüğünde VV için gereken üç oynaklığa anında sahip olur. Kalibrasyon adımı yok. Optimizasyon yok. Sadece cebir.

Standart deltalardaki FX vanilla opsiyonları için VV hızlı, doğru ve arbitrajsızdır. Birinci nesil egzotikler (one-touch, double no-touch) için VV, tam model sonuçlarına şaşırtıcı derecede yakın, hızlı ve kabaca fiyatlar verir.

Hisse senedi/kripto neden sevmez: Borsada işlem gören hisse senedi ve kripto opsiyonları, birçok kullanım fiyatı ve vade boyunca tam bir fiyat ızgarası sunar. Üçten çok daha fazla veri noktanız vardır. Üç parametreli bir modeli otuz kullanım fiyatına oturtmak bilgi kaybettirir.

Daha da kötüsü, VV smile'ı hisse senedi ve kripto piyasalarında görülen gerçek şekillerle eşleşecek kadar esnek değildir. Kısa vadeli dik skew'ler, vadeye göre değişen kanat konveksitesi, butterfly'ın vade yapısı -- bunların hiçbiri üç sayıyla yakalanamaz.

Bu piyasalarda SVI, SSVI veya SLV gözlemlenen yüzeyin tüm zenginliğini yansıtabildikleri için daha iyi seçeneklerdir.

Sezgi vergisi

VV'yi üretim fiyatlamasında kullanmayan masalarda bile zihinsel model olarak değerlidir. "Bu opsiyon vanna ve volga nedeniyle BS'den daha pahalıdır" cümlesi, smile'ların neden var olduğunun eksiksiz bir açıklamasıdır. Skew (vanna) ve eğrilik (volga) şeklindeki ayrıştırma, gerçek fiyatlama daha sofistike bir modelle yapılsa bile, trader'ların herhangi bir opsiyonun fiyatını neyin belirlediği üzerine akıl yürütmesine yardımcı olur.

Uzantılar: Temel VV yöntemi 25 delta referansları kullanır. Bazı masalar, kanat davranışını daha iyi yakalamak için bunu beş noktaya genişletir (10 delta satım ve alım ekleyerek). Bazıları ise daha yüksek dereceli Greek'leri içeren bir "ikinci dereceden VV" kullanır. Ama o noktada daha karmaşık bir model kuruyorsunuz demektir; SVI kullanmak daha mantıklı olur.

Kriptoda: VV çerçevesi zaman zaman hızlı zihinsel hesap için kullanılır -- "piyasadaki RR ve BF göz önüne alındığında bu OTM satım opsiyonu ne kadar etmeli?" -- ama üretim modeli değildir. Kripto oynaklık yüzeyleri, üç nokta interpolasyonu için fazla gürültülü ve fazla diktir. Değeri kavramsaldır, operasyonel değil.

Sonraki adımlar:

Black-Scholes -- VV'nin ayarladığı temel model

Greek'ler Referansı -- vanna, volga ve diğer ikinci dereceden duyarlılıkların eksiksiz ele alınışı

SVI Parametrizasyonu -- hisse senedi/kripto smile'ları için kullanım fiyatı temelli alternatif

Stokastik Yerel Oynaklık -- üretim ortamındaki egzotik fiyatlama modeli