Sıfırdan SVI

1/5

Bölüm 1

SVI nedir?

SVI, Stochastic Volatility Inspired ifadesinin kısaltmasıdır. Tek bir vade sonundaki oynaklık gülümsemesinin şeklini tanımlayan 5 parametreli bir formüldür.

Çoğu gülümseme modeli zımni oynaklık uzayında çalışır. SVI ise farklıdır: toplam zımni varyansı log-moneyness'in bir fonksiyonu olarak parametrize eder. Bu dolambaçlı bir yol gibi görünebilir, ancak arbitraj kısıtlarını son derece basit hâle getirdiği ortaya çıkar.

Formül şöyledir:

SVI toplam varyansı

w(k) = a + b(ρ(k − m) + √((k − m)² + σ²))

w(k) is total implied variance = σ_imp² · T. k = ln(K/F) is log-moneyness. Five parameters: a, b, ρ, m, σ.

Toplam varyans eğrisinin nasıl değiştiğini görmek için aşağıdaki kaydırıcıları hareket ettirin. X ekseni log-moneyness'tir (negatif = OTM put opsiyonları, pozitif = OTM call opsiyonları). Y ekseni toplam zımni varyanstır.

Toplam varyans w(k)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Neden “toplam varyans”?

Black-Scholes zımni oynaklık (σ_imp) kullanır. Ancak oynaklık hem gülümsemenin şekline hem de vade sonuna kalan süreye bağlıdır. Toplam varyans w = σ_imp² · T zamanı ayrıştırır ve geriye vadeyle monoton olarak artan bir büyüklük bırakır. Bu monotonluk, takvim arbitrajından arınmışlığı sağlamak için tam da ihtiyacınız olan şeydir.

Bölüm 2

5 parametre

Her parametre, gülümsemenin bir geometrik yönünü kontrol eder. Parametreleri teker teker tıklayın ve nelerin değiştiğini izleyin.

Kesikli çizgi taban çizgisidir (tipik bir put-skew gülümsemesi). Düz renkli çizgi, vurgulanan parametreyi hareket ettirdiğinizde ne olduğunu gösterir. Diğer her şey sabit kalır.

a -- overall variance level

Shifts the entire curve up or down uniformly. Higher a means higher implied volatility everywhere. Think of it as a baseline variance that applies to all strikes.

a (level)0.040

Varsayılan: 0.040Kesikli çizgi = referans

Kanat davranışı: ATM'den uzaklaştıkça gülümseme düz çizgilere yaklaşır. Put kanadının eğimi b(1 − ρ), call kanadının eğimi ise b(1 + ρ)'dur. Tipik put skew ile (ρ < 0) sol kanat daha diktir.

Asimptotik eğimler

Put wing: b(1 − ρ)     Call wing: b(1 + ρ)

Bu sınırlı, doğrusal kanatlar SVI'ın temel avantajlarından biridir. Gülümseme hiçbir zaman saçma değerlere ekstrapole edilmez.

Bölüm 3

Varyanstan oynaklığa

SVI size toplam varyans w(k)'yi verir. Tanıdık IV gülümsemesi yalnızca bir karekök uzağınızdadır.

Varyanstan IV'ye

σ_BS(k) = √(w(k) / T)

Toplam varyansı vade sonuna kalan süreye bölün, ardından karekökünü alın. Bu size her kullanım fiyatındaki zımni oynaklığı verir.

Aşağıda her iki eğri de aynı SVI parametrelerinden üretilmiştir. Sol panel toplam varyansı gösterir (SVI'ın çalıştığı uzay). Sağ panel zımni oynaklık gülümsemesini gösterir (trader'ların düşündüğü uzay). Kaydırıcıları hareket ettirin ve her ikisinin de aynı anda güncellendiğini izleyin.

Toplam varyans w(k)

Zımni oynaklık (%)

a (level)0.040

Overall variance level — shifts the entire curve up or down

b (angle)0.250

Wing steepness — higher b means steeper wings

ρ (rotation)-0.40

Skew direction — negative = put skew, positive = call skew

m (translation)0.00

Horizontal shift of the smile minimum

σ (smoothing)0.200

Roundness at ATM — small = sharp V, large = smooth U

Varyans eğrisinin oynaklık eğrisinden daha pürüzsüz ve daha “V şeklinde” olduğuna dikkat edin. Karekök büyük değerleri sıkıştırır, küçük değerleri ise genişletir; bu da oynaklık gülümsemesinin daha yuvarlak görünmesini sağlar.

Uygulayıcılar için neden önemli: SVI'ı fit ederken varyans uzayında optimize edersiniz (formülün yaşadığı yer), ancak fit kalitesini IV artıklarına bakarak değerlendirirsiniz (trader'ların kotasyon verdiği yer).

Bölüm 4

Arbitrajsızlık kısıtları

Tüm SVI parametre kombinasyonları geçerli değildir. Bazıları, arbitrajsızlık koşullarını ihlal eden gülümsemeler oluşturur. Sınırı bulmak için aşağıdaki aracı kullanın.

Üç temel kısıt vardır. Herhangi biri ihlal edildiğinde risksiz bir kâr fırsatı ortaya çıkar — bu da gülümsemenin riskin gerçek piyasa fiyatı olamayacağı anlamına gelir.

Butterfly kısıtı

b(1 + |ρ|) ≤ 4/T

Negatif yerel varyansı önler. Bu kısıt ihlal edilirse butterfly spread'lerin maliyeti negatif olur — bedava para.

Negatif olmayan minimum

a + bσ√(1 − ρ²) ≥ 0

Gülümsemenin minimumu sıfırın üzerinde olmalıdır. Negatif toplam varyans fiziksel olarak mümkün değildir.

Roger Lee moment formülü

b(1 + |ρ|) ≤ 2

Kanatların ne kadar hızlı büyüyebileceğini sınırlar. Pratikte kısa vadeli opsiyonlar için butterfly kısıtı daha bağlayıcıdır.

Aşağıdaki hazır ayarları deneyin, ardından sınırları görmek için kaydırıcıları hareket ettirin. Herhangi bir kısıt ihlal edildiğinde eğri kırmızıya döner.

Butterfly: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 48.7Min variance: 0.0782 ≥ 0Lee moment: b(1+|ρ|) = 0.260 ≤ 2

Arbitraj yok — bu smile güvenli

a (level)0.040

b (angle)0.200

ρ (rotation)-0.30

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.200

Bölüm 5

Kalibrasyon

Piyasada gözlemlenen zımni oynaklıklar verildiğinde, bunları en iyi şekilde yeniden üreten 5 SVI parametresini bulun. Elle deneyin.

Turuncu daireler sentetik piyasa kotasyonlarıdır — 30 DTE'de gerçekçi bir BTC gülümsemesi. Yeşil eğri SVI fitidir. Dikey çizgiler her noktadaki artığı (hatayı) gösterir.

RMSE'yi en aza indirmek için kaydırıcıları ayarlayın. Optimuma yakın bir parametre seti görmek için “En iyi fiti göster” düğmesine basın.

RMSE44.82%(Zayıf)

SVI uyumuPiyasa verileriKalıntı

a (level)0.040

b (angle)0.150

ρ (rotation)-0.10

m (translation)0.00

σ (smoothing)0.250

Pratikte: sayısal bir optimize edici (Levenberg-Marquardt veya SLSQP) bunu vade başına 10 ms'nin altında yapar. Optimize edici, Bölüm 4'teki arbitraj kısıtlarını uygularken artıkların ağırlıklı kareler toplamını en aza indirir.

Başlangıç değerleri önemlidir: kötü bir başlangıç tahmini, optimize ediciyi yerel bir minimumda tuzağa düşürebilir. Yaygın yaklaşım: a'yı ATM varyansından, b'yi gözlemlenen kanat eğiminden ayarlayın, ρ ≈ −0.3, m ≈ 0, σ ≈ 0.1.

Sıradaki adımlar:

SVI referans sayfası — tam parametre tablosu, fit detayları, varyantlar

ORC Wing (Jump-Wing) — trader'lar için yeniden parametrize edilmiş SVI

SSVI — SVI'ın tüm yüzeye genişletilmesi