Sıfırdan Stokastik Yerel Oynaklık
1/5Yerel oynaklık fiyatları doğru, dinamikleri yanlış verir
Dupire'ın yerel oynaklık modeli olağanüstü bir şey yapar: piyasadaki her vanilya opsiyon fiyatına aynı anda mükemmel şekilde kalibre olur. Sıfır kalibrasyon hatası. İşin püf noktası sonrasında olanlardır.
Yerel oynaklık her spot seviyesine ve her zaman noktasına benzersiz bir oynaklık σ(S, t) atar. Gözlemlenen vanilya fiyat yüzeyi verildiğinde, hepsini yeniden üreten tam olarak tek bir yerel oynaklık fonksiyonu vardır. Kurulum deterministiktir -- optimizasyon yok, artık hata yok.
Peki yanlış olan ne? Dinamikler. Yerel oynaklık, spot hareket ettikçe smile'ın nasıl evrileceğini öngörür ve bu öngörüde fena halde yanılır.
Spot %5 düştüğünde yerel oynaklık, smile'ın sol kanatta düzleşeceğini söyler. Model daha düşük bir spot okuyup σloc fonksiyonunun farklı bir dilimine başvurur; o dilim orada daha düzdür. Ancak gerçek piyasalarda tam tersi olur: %5'lik bir satış dalgası smile'ı dikleştirir çünkü gerçekleşen oynaklık yükselmekte ve aşağı yönlü korunma talebi artmaktadır.
Yerel oynaklık, bugünkü gülümsemenin mükemmel bir fotoğrafıdır. Ama fotoğraflar hareket etmez. Spot kaydığında, yerel oynaklık aynı statik tablodaki farklı bir sütuna bakarak yeni gülümsemeyi tahmin eder. Bu arada piyasa, tüm tabloyu yeniden fiyatlamıştır.
Bu, egzotikler için önemlidir. Bir bariyer opsiyonu, spot bariyere yakınken smile'ın nasıl göründüğüne bağlıdır -- yalnızca bugün nasıl göründüğüne değil. Modeliniz yanlış gelecek smile'ını öngörürse bariyeri yanlış fiyatlar ve yanlış hedge eder.
Stokastik oynaklık dinamikleri doğru, fiyatları yanlış verir
Heston, SABR ve kuzenleri oynaklığı kendi stokastik sürecine sahip bir rastgele değişken olarak ele alır. Bu gerçekçi gülümseme evrimi üretir: spot düştüğünde oynaklık yükselir ve gülümseme dikleşir. Ama bugünkü vanilya fiyatlarına uyum en iyi ihtimalle yaklaşıktır.
Heston gibi bir modelin beş serbest parametresi vardır. Beş sayı, tüm kullanım fiyatları ve vadeler genelinde gözlemlenen yüzlerce opsiyon fiyatıyla aynı anda eşleşemez. Uyum her zaman bir uzlaşmadır -- ATM civarında makul, kanatlarda giderek daha kötü.
Daha fazla parametre ekleyebilirsiniz (çift Heston, sıçramalı Bates) ama açığı asla tamamen kapatamazsınız. Her zaman bir kalibrasyon artığı kalır. Vanilya fiyatlaması ve piyasa yapıcılığı için bu artık, masada bırakılmış paradır.
Yukarıdaki üç panel hikâyeyi anlatıyor. %5'lik spot düşüşünden sonra:
Yerel oynaklık smile'ın düzleşeceğini öngörür -- yanlış.
Stokastik oynaklık gülümsemenin dikleşeceğini öngörür -- doğru, ama başlangıçta bugünkü gülümsemeyi mükemmel şekilde eşleştirmediğine dikkat edin.
SLV ikisini birden başarır: bugün mükemmel bir uyumdan başlar ve gerçekçi biçimde evrilir.
Vanilya kote ediyorsanız yerel oynaklık kazanır -- onları tam olarak fiyatlar. Spot hareket ettiğinde defterinizin nasıl davranacağını önemsiyorsanız stokastik oynaklık kazanır -- gerçekçi Greek'ler öngörür. Egzotik fiyatlama içinse ikisine de ihtiyacınız var. SLV işte burada devreye girer.
SLV ikisini birleştirir
Stokastik yerel oynaklık iki motoru paralel çalıştırır. Yerel oynaklık bileşeni kalibrasyonu üstlenir. Stokastik bileşen gerçekçi dinamikler ekler. Karışım oranı α harmanı kontrol eder.
Second line: L, vol-of-vol ν tarafından yönlendirilen kendi difüzyonunu izler.
Special cases: ν = 0 olduğunda L deterministiktir ve saf yerel oynaklığı elde edersiniz. Ne zaman ki σloc sabit olduğunda saf stokastik oynaklığı elde edersiniz. Karışım oranı α toplam varyansın ne kadarının her bileşenden geldiğini kontrol eder.
Sezgi şu: σloc(S, t), piyasaya zaten kalibre olan Dupire fonksiyonudur. Stokastik bir L ile çarpmak, kalibrasyonu bozmadan dinamikleri pertürbe eder -- yeter ki L, pertürbasyonun ortalamada yok olacağı şekilde kalibre edilsin. L'nin bu kalibrasyonu, kaldıraç fonksiyonunun yaptığı işin ta kendisidir.
Karışım oranı α (genellikle vol-of-vol parametresine gömülüdür) ne kadar rastgeleliğin L'ye gideceğini, ne kadarının σloc içinde kalacağını belirler. Bir uçta (α = 0), tüm varyans yerel oynaklıkla açıklanır ve smile dinamikleri deterministiktir. Diğer uçta (α = 1), yerel oynaklık düzdür ve stokastik süreç her şeyi yönlendirir.
Yukarıdaki kaydırıcıyı sürükleyin. Öngörülen gelecek smile'ını izleyin:
α = 0 (saf yerel oynaklık): Gelecek smile bugüne kıyasla neredeyse hiç hareket etmez. Sol kanat hafifçe düzleşir. Yerel oynaklığın patolojisi budur.
α = 1 (saf stokastik oynaklık): Gelecek smile çarpıcı biçimde dikleşir. Oynaklık her yerde yukarı sıçrar. Bu gerçekçidir ama aşırı düzeltme yapabilir.
α = 0.5 (dengeli): Bir orta yol. Smile dikleşir ama ılımlı biçimde. Üretim kalibrasyonlarının çoğu buraya oturur.
Kaldıraç fonksiyonu
L(S, t) kalibrasyon tutkalıdır. Tüm stokastik yollar üzerinden ortalaması alınan beklenen yerel oynaklığın piyasayla eşleşmesi için hesaplanır. Karışım dengeli olduğunda L her yerde 1'e yakın kalır. Bir bileşen baskın olduğunda L daha çok çalışmak zorunda kalır.
Biçimsel olarak L(S, t) şu koşulla tanımlanır:
Pratikte L, ileri PDE (Fokker-Planck) ya da parçacık yöntemi (yoğunluk tahminli Monte Carlo) kullanılarak sayısal olarak hesaplanır. İleri PDE, (S, L) ortak yoğunluğunu zamanda ileriye doğru yayar ve her ızgara noktasında L'yi çıkarır. Parçacık yöntemi çok sayıda yol simüle eder, bunları spot seviyesine göre kutulara ayırır ve her kutu içinde L'yi çözer.
Temel içgörü: α 0.5'e yakın olduğunda, her iki bileşen yükü eşit şekilde paylaştığı için L her yerde 1'e yakındır. Ne zaman ki α 0'a veya 1'e yakın olduğunda, L yapı kazanır -- kanatlarda tepeler, ATM yakınında vadiler -- çünkü bir bileşen neredeyse tüm işi yapmaktadır ve L bunu telafi etmek zorundadır.
Yukarıdaki ısı haritası L(S, t)'yi spot ve zaman boyunca gösterir. Karışım kaydırıcısını sürükleyin ve izleyin:
Dengeli (α ≈ 0.5): Homojen koyu renk. L her yerde yaklaşık 1'dir. İki bileşen eşit katkı verir. İdeal çalışma noktası budur.
Yerel oynaklık baskın (α ≈ 0): L, kanatlarda sıcak (turuncu/kırmızı) bölgeler geliştirir. Stokastik bileşenin kendi varyansı azdır; bu yüzden piyasayla eşleşmek için ağır yükü L taşımalıdır.
Stokastik oynaklık baskın (α ≈ 1): L, soğuk (mavi) bölgeler geliştirir. Stokastik bileşen bazı bölgelerde aşırıya kaçar ve L onu geri çekmelidir.
Egzotik fiyatlama standardı
SLV, büyük bankaların bariyer, Asya tipi ve cliquet opsiyonları için fiilen çalıştırdığı modeldir. Üretim standardıdır çünkü hem vanilyalara kalibre olan hem de savunulabilir egzotik fiyatlar üreten tek modeldir.
Bariyerler. Knock-out opsiyon, spot bariyere değdiğinde ölür. Değeri, smile'ın bariyer seviyesi yakınında nasıl göründüğüne kritik biçimde bağlıdır. Yerel oynaklık orada yanlış smile üretir. Stokastik oynaklık doğru dinamikleri ama yanlış başlangıç fiyatlarını verir. SLV ikisini de sağlar -- ve ortaya çıkan bariyer fiyatı, yerel oynaklıktan nominal değerin yüzde birkaçı kadar farklı olabilir.
Asya tipi opsiyonlar. Asya tipi opsiyon, spotun belirli bir penceredeki ortalamasını alır. Ortalama alma smile dinamiklerinin etkisini yumuşatır; bu yüzden burada SLV ile yerel oynaklık arasındaki fark daha küçüktür. Ancak yine de sıfır değildir ve büyük nominal tutarlarla işlem yapan masalar bunu önemser.
Cliquet opsiyonları. Periyodik olarak sıfırlanan ileri başlangıçlı opsiyonlar. Bunlar ileri gülümsemeye -- gülümsemenin her sıfırlama tarihinde nasıl görüneceğine -- son derece duyarlıdır. SLV'nin avantajı burada en büyüktür çünkü cliquet'ler esasen gülümseme dinamikleri üzerine bir bahistir.
SLV bedava değildir. Kaldıraç fonksiyonu, stokastik oynaklık parametreleri her değiştiğinde yeniden hesaplanmalıdır; bu da kalibrasyonu yinelemeli bir sürece dönüştürür: stokastik oynaklık parametrelerini uydur, L'yi hesapla, vanilya uyumunu kontrol et, ayarla, tekrarla. Bu dış döngü hesaplama açısından pahalıdır ve şu parametrenin seçiminde model riski doğurur: α.
Karışım oranının seçimi başlı başına bir muhakeme meselesidir. Farklı α değerleri, aynı vanilyalarla eşleşirken farklı egzotik fiyatlar üretir. Bankalar tipik olarak α değerini, likit egzotik işlemlere (örneğin FX'te bariyer dönüşleri) kalibre ederek veya smile dinamiklerinin kitapları için ne kadar önemli olduğuna dair uzman muhakemesiyle belirler.
Model riski. Karışım oranı, üretim ortamındaki egzotik fiyatlamada en önemli model riski parametresidir. SLV'yi farklı α değerleriyle kullanan iki masa her vanilyada hemfikir olur ama bariyerlerde ayrışır. Bu bir hata değildir -- smile'ın nasıl evrileceğine dair gerçek belirsizliği yansıtır.
Kripto tarafında: Egzotik piyasa daha küçük ve vanilya yüzeyinin kendisi gürültülü olduğu için SLV kriptoda daha az yaygındır. Çoğu kripto masası yüzey uydurma için SVI veya SSVI kullanır; yola bağımlı ürünler içinse yerel oynaklığa veya doğrudan simülasyona başvurur. Kripto opsiyon piyasası olgunlaştıkça SLV daha önemli hale gelecektir.
Sonraki adımlar:
Local Volatility -- Dupire modelinin ayrıntıları
Heston Model -- SLV içindeki en yaygın stokastik oynaklık motoru
SABR Model -- ortalamaya dönüş içermeyen stokastik oynaklık; faiz piyasalarında popüler
Vanna-Volga -- üç piyasa kotasyonundan daha basit bir smile kurulumu