Sıfırdan SSVI

1/4

Bölüm 1

SVI'den SSVI'ye

SVI tek bir vade sonundaki tek bir oynaklık gülümsemesini fit eder. Bunu iyi yapar -- beş parametre, temiz bir şekil. Ancak bir oynaklık yüzeyinde üst üste dizilmiş birçok vade sonu vardır. Her dilimi bağımsız olarak fit etmek bir sorun yaratır.

Her dilimi kendi SVI parametreleriyle uydurduğunuzda, toplam varyansın her kullanım fiyatında bir vadeden diğerine arttığını hiçbir şey garanti etmez. Artmıyorsa, elinizde bir takvim spread arbitrajı -- kısa vadeli opsiyonu satıp uzun vadeli olanı aldığınız bedava para kazandıran bir işlem.

SSVI bunu, tüm yüzeyi tek bir parametrizasyondan inşa ederek çözer. Dilim başına 5 parametre yerine, tüm yüzeyi şunlar yönetir:

İki temel bileşen

θ(t) = t anındaki ATM toplam varyans

φ(θ) = ATM skew fonksiyonu (gülümsemenin dikliğini kontrol eder)

θ(t) doğrudan ATM opsiyon fiyatlarından gözlemlenir. φ(θ) gülümseme şeklinin vadeyle nasıl değiştiğini kodlar. Tek bir skew parametresi ρ ile birlikte tüm yüzeyi tanımlarlar.

Benzetme

Dilim bazlı SVI'yi, bir binanın her katına ayrı bir mimar atamak gibi düşünün. Her kat harika görünebilir, ancak katlar arasındaki merdivenler birbirine oturmayabilir. SSVI tüm bina için tek bir mimar tutar -- tek tek katlar biraz daha az özelleştirilmiş olur, ancak her şey birbirine bağlanır.

Bölüm 2

SSVI parametrizasyonu

Tek formül. Üç kontrol. Aşağıdaki kaydırıcıları hareket ettirin ve gülümsemenin yeniden şekillenmesini izleyin.

SSVI toplam varyans

w(k, θ) = θ/2 · (1 + ρφ(θ)k + √((φ(θ)k + ρ)² + (1 − ρ²)))

k log-moneyness'tir (ln(K/F)). k=0'da başabaş (ATM) noktasındasınız. Negatif k, karda (ITM) call opsiyonlarına (zararda (OTM) put opsiyonlarına) karşılık gelir.

Neyi kontrol ettiğine dair sezgi geliştirmek için her parametreyle oynayın:

θ0.04

ρ-0.30

φ1.50

θ genel seviyeyi kaydırır -- daha yüksek ATM varyansı, tüm gülümsemenin yukarı hareket etmesi demektir. ρ gülümsemeyi eğimlendirir -- negatif ρ trader'ların beklediği put skew'unu oluşturur. φ kanatların ne kadar geniş olacağını kontrol eder.

Bölüm 3

Takvim spread arbitrajı

SSVI'nin asıl amacı: yapısı gereği takvim arbitrajından arınmışlık. Ancak yalnızca φ doğru seçilirse.

Takvim spread arbitrajı, belirli bir kullanım fiyatındaki toplam varyansın daha kısa bir vade sonundan daha uzun bir vade sonuna geçerken azalması anlamına gelir. Bu, adil bir piyasada gerçekleşemez -- size bedava para kazandırırdı.

Aşağıda, kötü bir φ seçimini (sabit, vadeyi yok sayar) iyi olan power-law formuyla karşılaştırın. Sol paneldeki kaydırıcıyı sürükleyin ve ihlal göstergesini izleyin.

Sabit phi = 3.0İhlal yok

phi3.0

Sabit phi vadeyi göz ardı eder. Smile her vadede aynı derecede dik kalır; bu da bazı kullanım fiyatlarında, daha uzun vadelere geçildikçe toplam varyansın azalmasına yol açabilir.

Kuvvet yasası phi(theta)İhlal yok

Kuvvet yasası phi, theta büyüdükçe azalır ve daha uzun vadelerde smile'ı düzleştirir. Toplam varyans her kullanım fiyatında zamana göre monoton artar — takvim arbitrajı yoktur.

Sabit φ gülümsemeyi her vade sonunda eşit derecede dik tutar. θ büyüdükçe, dik gülümseme kanatlardaki toplam varyansı kısa vadeler için olması gerekenden daha yükseğe iter, ancak uzun vadeler için yeterince yükseğe itemez -- bu da kesişmeler yaratır.

Power-law φ fonksiyonu, θ büyüdükçe azalır ve daha uzun vadelerde gülümsemeyi doğal olarak düzleştirir. Bu, w(k, θ) ifadesinin her k'da θ cinsinden monoton artan olmasını garanti eder.

Bölüm 4

Power-law formu

Tüm yüzeyi iki parametre kontrol eder. SSVI'nin dayattığı tüm kısıtlamaların getirisi budur.

Power-law phi

φ(θ) = η / (θ^γ (1 + θ)^1−γ)

η > 0 genel gülümseme genliğini kontrol eder. γ ∈ [0, 1] gülümsemenin vadeyle ne kadar hızlı düzleştiğini kontrol eder. Takvim arbitrajından arınmışlık şunu gerektirir: η(1 + |ρ|) < 2.

Aşağıdaki kaydırıcıları hareket ettirin. Isı haritasının değişimini izleyin -- x ekseni log-moneyness, y ekseni vade sonu ve renk zımni oynaklıktır.

η0.50

γ0.50

ρ-0.30

SSVI zımni oynaklık yüzeyi

Vade sonu (yıl)

1.00.530.05

-0.800.8

Log-moneyness (k)

IV

19%51%

η gülümseme genliğini her yerde ölçekler. Artırdığınızda kanatlar tüm vade sonlarında genişler. γ gülümsemenin vadeyle ne kadar hızlı düzleştiğini değiştirir. Düşük γ uzun vadeli gülümsemelerin dik kalması demektir; yüksek γ onları hızla düzleştirir.

Üç parametre (ρ, η, γ) artı gözlemlenen ATM varyans eğrisi θ(t). Tüm yüzey bundan ibaret. Bunu, dilim bazlı SVI'nin beş dilimi için gereken 25+ parametreyle karşılaştırın.

Sıradaki adımlar:

SSVI referansı -- tam formül, fit etme ipuçları ve karşılaştırma tablosu

SVI parametrizasyonu -- SSVI'nin genişlettiği dilim bazlı model

Yüzeyler nasıl oluşturulur -- üretim pipeline'ı