Sıfırdan SANOS
1/5Parametrik modellerin bir şekil önyargısı vardır
Her parametrik model — SVI, SABR, polinom uydurmaları — bir formül ailesi seçerek başlar. Bu aile, siz tek bir piyasa kotasyonuna bakmadan önce hangi şekillerin mümkün olduğunu belirler.
SVI'nin beş parametresi vardır. Bu, piyasa gülümsemesine (smile) uyum sağlamak için beş serbestlik derecesi anlamına gelir. Likit, düzgün davranan piyasalar için beş genellikle yeterlidir. Gülümseme pürüzsüz, belli belirsiz parabolik biçimlidir ve SVI bunu mükemmel yakalar.
Ancak piyasalar her zaman düzgün davranmaz. Bir kazanç açıklaması, bir protokol saldırısı, düzenleyici bir haber — bunlar belirli kullanım fiyatlarında zımni oynaklıkta lokal tümsekler oluşturabilir. Beş parametreli bir eğri, diğer her yerde düz kalırken K=90'da bir tümsek oluşturamaz. Tek bir lokal özelliğe uyum sağlamak için tüm eğriyi bükmek zorunda kalır.
SANOS tam tersi bir yaklaşım benimser. Bir formül ailesi seçmek yerine, bir ızgaradaki her düğüme bir değer atar ve yüzeyin hangi şekli alacağına verinin karar vermesine izin verir. Tek gereksinimler: pürüzsüz olması, arbitrajsız olması ve gözlemlenen alış/satış kotasyonlarına saygı göstermesi.
SVI, bir dizi noktaya esnek bir şablon cetveli uydurmak gibidir — cetvel kıvrılabilir ama keskin bir büküm oluşturamaz. SANOS ise noktaların üzerine esnek bir ağ sermek gibidir; her kesişim noktası bağımsız hareket edebilir. Ağ, cetvelin yakalayamadığı lokal özellikleri yakalayabilir.
Izgara formülün yerini alır
SANOS'ta oynaklık yüzeyi bir düğüm ızgarasıyla tanımlanır: her (kullanım fiyatı, vade sonu) kesişiminde bir değer. 9 kullanım fiyatı ve 5 vade sonu size 45 serbest değişken verir. 20 kullanım fiyatı ve 5 vade sonuna ölçeklerseniz 100 elde edersiniz.
Her düğüm bir toplam varyans değeri (ya da eşdeğer olarak bir zımni oynaklık) tutar. Düğümler arasındaki yüzey enterpole edilir. Parametrik modellerden temel fark: bu değerleri birbirine bağlayan bir formül yoktur. Her düğüm, yalnızca arbitrajsızlık ve pürüzsüzlükle kısıtlanan serbest bir değişkendir.
Aşağıda ızgara, kullanım fiyatları ve vade sonları boyunca zımni oynaklık değerlerini gösteriyor. K=90, T=0.25 yakınındaki lokal tümseğe dikkat edin — parametrik bir modelin kaçıracağı türden bir özelliktir bu. Sağdaki panel, karşılaştırma için üzerine SVI en iyi uydurması bindirilmiş şekilde, seçili bir vade sonundaki gülümsemeyi gösterir.
Oynaklığını ayarlamak için herhangi bir hücreye tıklayın. Izgaranın lokal yapıyı yakaladığı her yerde SANOS gülümsemesinin (yeşil) SVI'den (sarı kesikli) nasıl saptığını izleyin. SVI küresel olarak pürüzsüz kalmak zorundadır; ızgara ise veriyi nokta nokta takip edebilir.
SANOS: N_K × N_T nodes → local flexibility
Doğrusal kısıtlar olarak arbitrajsızlık
100 serbest değişkenle korkuluklara ihtiyacınız var. SANOS bunları, ızgara değerleri üzerinde doğrusal eşitsizlikler olarak ifade edilen statik arbitrajsızlık koşullarından alır.
İki temel kısıt:
Takvim spread kısıtı. Toplam varyans (w = σ^2 × T) her kullanım fiyatı için T'ye göre azalmayan olmalıdır. Azalsaydı, aynı kullanım fiyatında kısa vadeli bir opsiyon satıp daha uzun vadeli bir opsiyon alarak risksiz kâr elde edebilirdiniz. Izgarada bu, her sütunun yukarıdan aşağıya artması gerektiği anlamına gelir.
Butterfly spread kısıtı. Call opsiyonu fiyatları her vade sonunda kullanım fiyatına göre dışbükey olmalıdır. Eşdeğer olarak, komşu kullanım fiyatları arasındaki toplam varyansın ikinci farkı negatif olmamalıdır. Bu, negatif olasılık yoğunluğunu — fiziksel bir imkânsızlığı — engeller.
Her iki kısıt da grid değerlerinde doğrusaldır. Takvim: w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) for T_2 > T_1. Butterfly: w(K-1, T) - 2·w(K, T) + w(K+1, T) ≥ 0. Doğrusal olmayan terimler yok, karmaşık bağlaşımlar yok. Yalnızca doğrusal bir çözücüye verebileceğiniz eşitsizlikler.
Izgara üzerinde toplam varyans uzayında çalışmanın derin avantajı budur: zımni oynaklıkta doğrusal olmayan arbitrajsızlık koşulları, toplam varyansta doğrusal hale gelir. Tüm yüzey oluşturma problemi doğrusal programlama alanında kalır.
Cevabı doğrusal programlama bulur
Tüm parçaları bir araya getirin: bilinmeyenler olarak düğüm değerleri, kutu kısıtları olarak alış/satış sınırları, doğrusal eşitsizlikler olarak arbitrajsızlık, amaç fonksiyonu olarak pürüzsüzlük. Tamamı bir doğrusal programdır.
Bir LP'nin kritik bir özelliği vardır: lokal minimum yoktur. Uygun bölge dışbükey bir politoptur ve optimum her zaman bir köşe noktasındadır. SVI kalibrasyonunun aksine (doğrusal değildir ve başlangıç değerlerine bağlı olarak lokal minimumlara takılabilir), LP her zaman küresel optimumu bulur.
Alış/satış kotasyonları kutu kısıtları tanımlar: gözlemlenen her kullanım fiyatında toplam varyans, alıştan türetilen ve satıştan türetilen değerler arasında yer almalıdır. Spread ne kadar darsa kutu o kadar küçüktür. Spread ne kadar genişse, SANOS'un pürüzsüz, arbitrajsız bir yüzey bulma özgürlüğü o kadar fazladır.
Kısıtlar eklendikçe uygun bölgenin (yeşil) küçülmesini izleyin. Pozitiflik, takvim, butterfly ve alış/satış — her biri imkânsız yüzeyleri ayıklar. LP çözümü (sarı nokta) nihai politopun bir köşesinde durur. Bu köşenin, tüm verilerle tutarlı en pürüzsüz arbitrajsız yüzey olması garantidir.
subject to: bid_i ≤ w_i ≤ ask_i (data)
w(K, T_2) ≥ w(K, T_1) (calendar)
w(K-1) - 2w(K) + w(K+1) ≥ 0 (butterfly)
SANOS ne zaman kazanır, ne zaman kazanmaz
SANOS her koşulda parametrik modellerden daha iyi değildir. Belirli bir ideal kullanım alanı vardır ve ne zaman kullanılacağını bilmek, nasıl çalıştığını bilmekten daha önemlidir.
SANOS şu durumlarda kazanır:
Seyrek veri. 5 kotasyonunuz varsa ve tam bir yüzeye ihtiyacınız varsa, parametreleri sabitlemek için yeterli nokta olmadığından parametrik modeller zorlanır. SANOS seyrek veriden yüzey oluşturabilir çünkü arbitrajsızlık kısıtlarının kendisi bilgi sağlar — piyasa kotasyonları olmadan bile uygun kümeyi daraltırlar.
Geniş alış/satış spreadleri. Orta fiyatlara yapılan parametrik uydurmalar, alış/satış aralığının dışında kalan arbitrajsız yüzeyler üretebilir. SANOS spread'i gürültü olarak değil, bir özellik olarak ele alır. Spread ne kadar genişse, pürüzsüz, arbitrajsız bir yüzey bulma özgürlüğü o kadar fazladır.
Lokal özellikler. Olay kaynaklı oynaklık tümsekleri, yoğunlaşmış pozisyonlanmadan kaynaklanan bükümler, vade sonuna özgü etkiler. Beş parametreli bir formülün ifade edemediği her türlü yapı.
Spread kaydırıcısını genişletin ve SANOS uydurmasının (yeşil) orta fiyattan (turuncu kesikli) uzaklaşmasını izleyin. Her ikisi de alış/satış çubuklarından geçer, ancak SANOS ekstra özgürlüğü daha pürüzsüz kalmak için kullanır. Spreadler dar olduğunda iki uydurma birbirine yakınsar.
SANOS şu durumlarda kaybeder:
Dinamik yorum yok. SVI parametrelerinin (a, b, rho, m, sigma) ekonomik anlamları vardır: genel varyans, skew büyüklüğü, korelasyon, kayma. SANOS düğümleri ise sadece bir ızgaradaki sayılardır. "Skew 0.02 arttı" deme yeteneğini kaybedersiniz — yalnızca "bu 20 düğüm hareket etti" diyebilirsiniz.
Depolama ve iletişim. Bir SVI yüzeyi vade sonu başına 5 sayıdır — depolanması ve iletilmesi son derece kolaydır. Bir SANOS yüzeyi ise yüzlerce düğüm değeridir. Veritabanları, önbellekler ve iletim protokolleri için bu önemlidir.
Sahada kanıtlanmış geçmiş. SVI 20+ yıldır kullanılıyor. SANOS daha yeni. Güvenilirliğin ve ekip aşinalığının önemli olduğu üretim sistemlerinde bu gerçek bir maliyettir.
Pratik kalıp: uydurma ve fiyatlama için SANOS kullanın (lokal doğruluğun önemli olduğu yerlerde), depolama ve iletişim için SVI kullanın (kompaktlığın önemli olduğu yerlerde). Birbirlerini tamamlarlar.
Sıradaki adımlar:
SVI Parametrizasyonu — SANOS'un tamamlamak üzere tasarlandığı parametrik model
SABR Modeli — dinamik yoruma sahip stokastik bir oynaklık modeli
Sıfırdan Lokal Oynaklık — lokal oynaklık yüzeyinin zımni oynaklıktan nasıl çıkarıldığı
Enterpolasyon Yöntemleri — tüm yöntemlerin karşılaştırması