Sıfırdan SABR
1/5SABR oynaklığa kendi sürecini verir
Black-Scholes'ta oynaklık bir sabittir. Gerçek dünyada oynaklık hareket eder — üstelik spotla birlikte hareket eder. SABR bu iki olguyu da yakalar.
SABR modeli, birbirine bağlı iki SDE'den oluşan bir sistemdir. Vadeli fiyat F ile stokastik oynaklık σ birlikte evrilir:
dσ = α·σ·dW₂
corr(dW₁, dW₂) = ρ
Dört parametre; her birinin belirgin bir piyasa anlamı var. α vol-of-vol'dur — oynaklığın kendisinin ne kadar agresif dalgalandığını kontrol eder. β omurgadır (backbone) — sürecin daha çok geometrik Brown hareketi (β=1) gibi mi yoksa aritmetik Brown hareketi (β=0) gibi mi davrandığını belirler. ρ spot hareketleri ile oynaklık hareketleri arasındaki korelasyondur — spot düştüğünde oynaklık yükselir mi? (Hisse/kripto piyasalarında evet: ρ < 0.)
Kilit içgörü: oynaklık yalnızca bilinmeyen değildir — aynı zamanda rastgele ve dayanak varlıkla korelasyonludur. Bu tek fikir, koca bir parametre yüzeyine ihtiyaç duymadan gerçekçi smile'lar üretir.
SABR faiz dünyasında doğdu (Hagan, Kumar, Lesniewski, Woodward, 2002). Her swaption masası, kote edilen kullanım fiyatları arasında interpolasyon yapmak için onu kullanır. Nedeni basit: her vade sonu için dört parametre, her biri gözlemlenebilir bir şeye karşılık gelir ve zımni oynaklık için analitik bir formül elde edersiniz. Smile için Monte Carlo'ya gerek yoktur.
β omurgayı (backbone) kontrol eder
Üs parametresi β, anlık oynaklığın vadeli fiyatın (forward) seviyesiyle nasıl ölçeklendiğini belirler. Vol-of-vol veya korelasyon daha devreye girmeden dayanak sürecin karakterini o belirler.
β = 1 (lognormal): Yüzdesel hareketler sabit büyüklüktedir. BTC 60k seviyesindeyse %1'lik hareket $600'dür. BTC 30k seviyesindeyse %1'lik hareket $300'dür. Dolar cinsinden oynaklık fiyatla ölçeklenir. Bu, klasik GBM varsayımıdır.
β = 0 (normal): Dolar cinsinden hareketler sabit büyüklüktedir. Oran ister %2'de ister %5'te olsun, baz puan cinsinden günlük standart sapma aynıdır. Faiz piyasalarında yaygındır.
β = 0.5 (CIR benzeri): Bir orta yol. Oynaklık, fiyatın karekökü ile ölçeklenir. Hiçbir ucun tam oturmadığı kripto ve FX için popülerdir.
Aşağıda β'yı kaydırın ve üç referans smile'ını izleyin. β=1'de smile, log-moneyness cinsinden görece simetriktir. β=0'da skew profili çarpıcı biçimde değişir. Omurga, spot hareket ettiğinde smile'ın nasıl kaydığını belirler — β işte bu yolla sticky-strike ve sticky-delta davranışına bağlanır.
Pratikte β genellikle kalibre edilmek yerine sabitlenir. Faiz masaları tipik olarak β=0.5 veya β=0 kullanır. Hisse ve kripto masaları çoğunlukla β=1 kullanır. Nedeni: tek vadeli bir kalibrasyonda β'yı ρ'dan ayrıştırmak zordur. β'yı sabitleyip smile'ı diğer üç parametrenin soğurmasına izin vermek standart uygulamadır.
Hagan yaklaşımı
SABR'ın faiz piyasalarını ele geçirmesinin nedeni: Hagan ve arkadaşları, Black-Scholes zımni oynaklığı için kullanım fiyatının fonksiyonu olarak kapalı formlu bir yaklaşım türetti. PDE çözmek yok, simülasyon yok — sadece bir formül.
Aşağıdaki yığılmış çubuklar, her kullanım fiyatındaki zımni oynaklığı üç toplamsal katkıya ayrıştırır. Yeşil taban, ATM oynaklık seviyesidir (ρ=0 ve ν=0 ile elde edeceğiniz değer — saf CEV). Turuncu katman, ρ'dan gelen birinci dereceden skew düzeltmesidir. Mavi katman, ν'den (vol-of-vol) gelen konveksite düzeltmesidir.
Başabaş (ATM) noktasında skew ve konveksite düzeltmeleri yaklaşık sıfırdır — taban baskındır. Kanatlarda düzeltmeler büyür. Her parametrenin kendi katmanını nasıl kontrol ettiğini görmek için kaydırıcıları ayarlayın.
Turuncu skew çubuklarının işaret değiştirdiğine dikkat edin: bir tarafta pozitif, diğer tarafta negatiftir (ρ ≠ 0 iken). Mavi konveksite çubukları kanatlarda her zaman pozitiftir ve hem derin put'lara hem de derin call'lara prim ekler.
ρ ve ν smile'ı şekillendirir
Önce β ve α omurgayı ve genel oynaklık seviyesini belirler; ardından smile'ın şekli iki parametreyle kontrol edilir: ρ (korelasyon) smile'ı eğer, ν (vol-of-vol) ise onu büker.
ρ skew düğmesidir. ρ < 0 olduğunda, spot düşüşlerine oynaklık yükselişleri eşlik eder — put'lar call'lardan daha pahalı hale gelir. ρ > 0 olduğunda ise tersi geçerlidir: call'lar daha pahalıdır. ρ = 0'da smile simetriktir (β=1 olduğunda ya da log-moneyness cinsinden bakıldığında).
ν ise eğrilik düğmesidir. Daha yüksek vol-of-vol, oynaklığın kendisinin daha oynak olması demektir; bu da her iki kanadı daha pahalı yapar. Smile genişler ve nihai dağılımın basıklığı (kurtosis) artar. ν = 0'da hiç smile kalmaz — saf bir CEV modeline geri dönersiniz.
Aşağıdaki iki panel her etkiyi ayrı ayrı gösterir. Sol: ν'yü sabitleyin, ρ'yu kaydırın. Sağ: ρ'yu sabitleyin, ν'yü kaydırın. Kesikli çizgi referanstır (ρ=0 veya ν=0).
ν = 0.40: Orta düzey vol-of-vol: kanatlarda görünür eğrilik.
Bu ayrım sezgi için güçlüdür ama pratikte kusursuz değildir. ρ ve ν tam olarak ortogonal değildir — kalibrasyon sırasında birini değiştirmek diğerinin optimal değerini kaydırır. Yine de zihinsel model geçerlidir: ρ smile'ı döndürür, ν ise onu şişirir.
Kalibrasyon ve tuzaklar
SABR kalibrasyonu, model smile'ını gözlemlenen piyasa IV'leriyle eşleştiren (α, ρ, ν) değerlerini bulmak demektir — β ise genellikle sabit tutulur. Aşağıda, modeli sentetik piyasa verisine elle oturtmayı deneyin.
Turuncu daireler "piyasa" zımni oynaklıklarıdır. Yeşil eğri sizin SABR modelinizdir. Dikey çizgiler artıkları (rezidüelleri) gösterir — her kullanım fiyatında model ile piyasa arasındaki fark. SSE'yi (hata karelerinin toplamı) en aza indirmek için kaydırıcıları sürükleyin. İyi bir kalibrasyon, artıkları yalnızca ATM'de değil her yerde sıfıra yaklaştırır.
Uygulamacıların hızla öğrendiği birkaç şey:
Hagan yaklaşımı kanatlarda patlar. Derin zararda (OTM) opsiyonlarda (örneğin 2Y bir swaption üzerinde 10-delta put'lar), Hagan formülü negatife dönen ya da absürt seviyelere fırlayan zımni oynaklıklar üretebilir. Bu, meşhur "kanat patlaması" sorunudur. Çözümler arasında arbitrajsız SABR formülasyonu (Hagan-Lesniewski-Woodward 2014) veya kesin PDE tabanlı yaklaşımlar yer alır.
Negatif faizler standart modeli bozdu. Eğer β > 0 ise, forward F pozitif olmak zorundadır. Faiz oranları negatife döndüğünde (EUR, JPY, CHF), masalar kaydırılmış (shifted) SABR'a geçti: model, shift'in efektif forward'ı pozitif kıldığı (F + shift) üzerine uygulanır.
Kripto için β genellikle 0.5 veya 1.0 değerinde sabitlenir. Kripto oynaklık yüzeyleri aşırı skew'e ve kalın kuyruklara sahiptir. β=1 (lognormal), kripto fiyatları negatife düşemeyeceği için en yaygın tercihtir. Bazı masalar kanatlarda daha iyi uyum için β=0.5 kullanır.
SABR vade başına çalışır, bir yüzey modeli değildir. Her vade sonu kendi (α, ρ, ν) kalibrasyonunu alır. Model, bu parametrelerin vadeler boyunca nasıl evrildiği hakkında hiçbir şey söylemez. Vade yapısı tutarlılığı için ek kısıtlar veya farklı bir çerçeve (SSVI veya lokal-stokastik oynaklık gibi) gerekir.
Sıradaki adımlar:
SVI Parametrizasyonu — takvim spread arbitrajı garantileri sunan, yüzey düzeyinde bir model
Lokal Oynaklık — tamamlayıcı bir yaklaşım: tüm vanilyaları tam olarak eşleyen deterministik oynaklık
İnterpolasyon Yöntemleri — tüm smile/yüzey yöntemlerinin karşılaştırması