Sıfırdan Rough Bergomi

1/5

Bölüm 1

Oynaklığın rough (pürüzlü) yolları vardır

Araştırmacılar gerçekleşen oynaklığın yüksek frekansta nasıl davrandığını ölçtüklerinde, her klasik modeli bozan bir şey buldular: oynaklık artışlarının otokorelasyonu üstel olarak değil, bir güç yasasıyla azalır. Oynaklık yolları herkesin sandığından çok daha çentikli/düzensizdir.

Heston, SABR veya difüzyon tabanlı herhangi bir modelde varyans süreci standart Brownian hareketiyle sürülür. BM'nin Hurst üsteli H = 0.5'tir; yani artışları korelasyonsuzdur. Ortaya çıkan yollar süreklidir, ancak sezgisel anlamda "çoğu zaman" türevlenebilecek kadar düzgündür.

Gatheral, Jaisson ve Rosenbaum (2018), hisse senedi endekslerinin ve bireysel hisse senetlerinin gerçekleşen oynaklığını ölçtüler. Log-oynaklık artışlarının otokorelasyonunun gecikme ile nasıl azaldığına baktılar. Sonuç: bir güç yasası olarak azalıyor, γ(k) ∼ k^2H−1, with H ≈ 0.1. H = 0.5 değil. H = 0.3 değil. H sıfıra yakın.

Zihinsel model

Bir cetvelle çizgi çizmekle, birisi dirseğinize çarparken kalemle karalama yapmak arasındaki farkı düşünün. Klasik modeller cetveli kullanır. Rough oynaklık, karalamanın gerçeğe daha yakın olduğunu söyler. Kalem, yalnızca ortalamaya dönen bir OU sürecinin frekansında değil, her zaman ölçeğinde sürekli yön değiştirir.

H ≈ 0.1 pratikte ne anlama gelir? Oynaklık artışları güçlü şekilde ters korelasyonludur. Oynaklık son beş dakikada yukarı hareket ettiyse, sonraki beş dakikada aşağı hareket etmesi daha olasıdır. Her zaman ölçeğinde görülen bu sürekli tersine dönüş, yolun pürüzlü görünmesine neden olan şeydir -- bir otoyoldan çok bir kıyı şeridi gibi tırtıklı ve fraktal.

Bu bir modelleme tercihi değildir. Hisse senetleri, endeksler, FX ve kriptoda gözlemlenen ampirik bir gerçektir. H ≈ 0.1'in evrenselliği, modern finansal ekonometrideki en dikkat çekici bulgulardan biridir.

Artımların Otokorelasyonu

H0.10

2H−1 = -0.80 — Güçlü negatif korelasyon: pürüzlü yollar

At H < 0.5 olduğunda artımlar negatif otokorelasyona sahiptir. Yukarı hareketin ardından büyük olasılıkla aşağı hareket gelir ve bu da yolu pürüzlü hale getirir. Bu, pürüzlü oynaklığın (rough volatility) ampirik göstergesidir.

Yukarıdaki kaydırıcıyı sürükleyin. H = 0.5'te otokorelasyon tüm gecikmelerde sıfırdır -- standart BM, hafıza yok. H'yi 0.1'e doğru düşürdükçe otokorelasyon güçlü şekilde negatif olur. Artışlar anti-korelasyonludur. İşte roughness (pürüzlülük) budur.

Bölüm 2

H neyi kontrol eder

H, Hurst üstelidir. Bir stokastik sürecin ne kadar pürüzlü ya da düzgün göründüğünü yöneten tek sayıdır. Rough oynaklık teorisindeki her şey, H'nin 0.5'ten çok daha küçük olmasından akıp gelir.

H = 0.5: Standart Brown hareketi. Heston'ın kullandığı budur. Artışlar korelasyonsuzdur. Yollar süreklidir ancak türevlenebilir değildir. Klasik finansın varsaydığı "varsayılan" pürüzlülük.

H < 0.5: Pürüzlü. Artışlar anti-korelasyonludur. H ne kadar düşükse, yol o kadar pürüzlüdür. H = 0.1'de yollar bir deprem sismografı tarafından çizilmiş gibi görünür. Her yukarı doğru kıvrılmayı, her zaman ölçeğinde muhtemelen bir aşağı doğru kıvrılma izler.

H → 0: Aşırı pürüzlü. Limitte yol o kadar tırtıklı hale gelir ki neredeyse zar zor süreklidir. Pratik amaçlar için, H ≈ 0.1 gerçek piyasalarla eşleşecek kadar pürüzlüdür.

H > 0.5: Pürüzsüz (kalıcı). Artışlar pozitif korelasyonludur. Yollar trend oluşturur. Bu rejim oynaklık için geçerli değildir ancak bazı hidroloji ve ağ trafiği modellerinde görülür.

Kesirli Brown hareketi

W^H(t) = fBM with Hurst parameter H

Cov(W^H(t), W^H(s)) = ½(|t|^2H + |s|^2H − |t−s|^2H)

H = 0.5 olduğunda, bu min(t, s)'ye indirgenir -- standart BM kovaryansı. H ≠ 0.5 olduğunda, kovaryans yapısı değişir: artışlar hafıza kazanır.

Pürüzlü ve Pürüzsüz Varyans Yolları

H0.10

H = 0.10 — Çok pürüzlü: tırtıklı, gerçekçi oynaklık yolları

Üst panel, H = 0.1, 0.3 ve 0.5'te yan yana üç varyans yolu gösterir. Görsel fark çarpıcıdır. H = 0.5'te yol düzgünce dolaşır. H = 0.1'de bir TV ekranındaki parazit gibi görünür -- sürekli tersine dönüşler, çentikli tepeler.

Alt paneldeki kaydırıcıyı kullanarak H'yi sürekli olarak tarayın. H'yi düşürdükçe yolun düzgünden pürüzlüye nasıl dönüştüğünü izleyin. Bu, belirli bir modelin parametresi değildir -- gerçek oynaklık verilerinin ölçülebilir bir özelliğidir.

Bölüm 3

Rough Bergomi modeli

Bayer, Friz ve Gatheral (2016) ampirik rough oynaklık bulgusunu alıp bunun etrafında bir fiyatlama modeli kurdu. Varyans süreci standart BM yerine kesirli Brownian hareketiyle sürülür. Sonuç zarif, tutumlu ve Markov olmayan bir modeldir.

Rough Bergomi varyansı

v(t) = ξ₀(t) · exp(η · W^H(t) − ½η² · t^2H)

ξ₀(t): ileri varyans eğrisi. Doğrudan varyans swaplarının piyasa fiyatlarından okunur. Bu, modeli gözlemlenen vade yapısına sabitler.
η (eta): vol-of-vol. Varyansın ileri eğriden ne kadar saptığını kontrol eder. Daha yüksek η = daha geniş gülümseme.
W^H(t): Hurst üsteli H ile kesirli Brown hareketi. Bu, pürüzlü sürücüdür.
−½η²t^2H: E[v(t)] = eşitliğini sağlayan konvekslik düzeltmesi ξ₀(t). Model, varyans vade yapısına otomatik olarak kalibre edilir.

Spot fiyat, anlık varyans v(t) ile olağan log-normal difüzyonu izler:

Spot dinamikleri

dS(t) = √v(t) · S(t) · dW(t)

corr(dW(t), dW^H(t)) = ρ

Spot Brown hareketi W, kesirli sürücü W ile korelasyonludur^H. Negatif ρ skew yaratır, Heston ile aynı mekanizma.

Serbest parametreleri sayın: H (Hurst üsteli), η (vol-of-vol) ve ρ (spot-vol korelasyonu). Toplamda üç parametre, artı piyasadan okunan ileri varyans eğrisi ξ₀(t). Heston'ın beş serbest parametresiyle karşılaştırın. Model daha tutumludur.

Heston'dan kritik fark: bu model Markovyen değildir. Heston'da varyansın geleceği yalnızca varyansın mevcut düzeyine bağlıdır. Rough Bergomi'de gelecek, yolun tüm geçmişine bağlıdır. Kesirli BM'de uzun menzilli bağımlılık gömülüdür. Durumu tek bir sayıyla özetleyemezsiniz.

Markov vs Markov Olmayan: Geçmiş Önemlidir

Geçmiş A: varyans yükseliyordu

Geçmiş B: varyans düşüyordu

Her iki yol da "NOW" anında aynı varyans seviyesine ulaşır. Heston'da gelecek konileri örtüşür (geçmiş unutulur). Rough Bergomi'de ise yükselen geçmişe sahip yolun gelecek dağılımı, düşen geçmişe sahip yolunkinden farklıdır.

Yukarıda Markov ve rough arasında geçiş yapın. İki varyans yolu "ŞİMDİ" anında aynı seviyeye ulaşır, ancak oraya farklı güzergâhlardan gelmiştir. Heston'da (Markov), gelecek dağılımları aynıdır -- modelin hafızası yoktur. Rough Bergomi'de, yükselen yolun düşen yola göre farklı bir gelecek konisi vardır. Geçmiş, dinamiğe işlenmiştir.

Markov olmamanın işlem açısından neden önemli olduğu

Bir oynaklık trader'ıysanız ve 30 günlük gerçekleşen oynaklığı %45'te görürseniz, şunu bilmek istersiniz: oraya %20'den sıçrayarak mı (hızla ortalamaya dönme olasılığı yüksek), yoksa %40'tan yavaşça yükselerek mi (kalıcı olma olasılığı yüksek) geldi? Heston bu iki senaryoyu ayırt edemez. Rough Bergomi ayırt edebilir. Yol geçmişi, gelecek hakkında bilgi içerir.

Bölüm 4

Rough oynaklık kısa vadeli gülümsemeleri neden açıklar

Rough vol teorisinin öldürücü uygulaması: ATM skew'in T ile ölçeklendiğini öngörür^H−0.5. H = 0.1'de bu, skew'in kısa vadeler için patladığı anlamına gelir -- tam olarak kripto ve hisse senedi piyasalarının gösterdiği şey.

ATM skew, zımni oynaklığın log-moneyness'in bir fonksiyonu olarak eğimidir ve başabaşta (ATM) değerlendirilir. Her stokastik oynaklık modeli bu skew ile vade T arasında belirli bir ilişki öngörür:

Skew vade yapısı

|skew(T)| ∝ T^{H − 0.5}

H = 0.5 (Heston): skew ∝ T⁰ = sabit. Skew vadeye bağlı değildir. Kısa uçta çok düz.
H = 0.1 (rough): skew ∝ T^−0.4. Skew, T → 0 iken patlar. Gerçek verilerle eşleşir.

Bu, tüm rough oynaklık programının can alıcı noktasıdır. Klasik modeller, ön uçta fazla düz kalan bir skew vade yapısı öngörür. 3 aylık skew'e uyabilirler ama 1 haftalık ya da 1 günlük skew'de zorlanırlar. Trader'lar yıllardır kısa vadeli gülümsemelerin Heston'ın öngördüğünden daha dik olduğunu bilir. Rough oynaklık nedenini açıklar: dayanak varyans sürecinin roughness'ı, vade kısaldıkça skew'in ne kadar hızlı büyüdüğünü doğrudan kontrol eder.

ATM Skew Vade Yapısı

H = 0.1: skew ∝ T^-0.4

H = 0.3: skew ∝ T^-0.2

H = 0.5: skew ∝ T^0.0

BTC ampirik verileri

Power-law skew: |skew| ∝ T^H−0.5. At H=0.1, the exponent is −0.4, so short-dated skew blows up.

Yukarıdaki grafik üç rejimi logaritmik ölçekte gösterir. H = 0.1'de (yeşil), skew eğrisi diktir -- kısa vadeli skew, uzun vadeliden çok daha büyüktür. H = 0.5'te (kırmızı, Heston benzeri), eğri neredeyse düzdür. Sarı noktalar ampirik BTC verileridir ve H = 0.1 eğrisini yakından izler.

Bu bir tesadüf değildir. BTC gerçekleşen oynaklık verilerinden H'yi ölçtüğünüzde, H ≈ 0.1 elde edersiniz. BTC opsiyonlarının ima ettiği skew vade yapısına baktığınızda, T gibi ölçeklenir^−0.4. Teori ve veri birbiriyle uyumludur.

Heston'ın bunu neden yanlış yaptığı: Heston'ın CIR varyans süreci standart BM (H = 0.5) tarafından yönlendirilir. Sıfırın altında bir üstelle güç yasası skew azalması üretemez. Heston'ın skew'ini şu değeri artırarak dikleştirebilirsiniz: σ (vol-of-vol) ile, ancak bu Feller koşulunu ihlal eder ve sayısal sorunlar yaratır. Rough Bergomi, dik kısa vadeli skew'i herhangi bir parametre çarpıtması olmadan doğal olarak elde eder.

Bölüm 5

Fiyatlama zorlukları

Rough Bergomi teorik olarak güzel ve ampirik olarak temellendirilmiştir. Ancak kullanımı pahalıdır. Kapalı formda fiyat yok, PDE yok, hızlı Fourier hilesi yok. Yalnızca Monte Carlo ve Markov olmayan yapı nedeniyle o bile yavaştır.

Kapalı formda karakteristik fonksiyon yok. Heston'ın öldürücü özelliği, Fourier tersine çevirmesi yoluyla yarı-analitik fiyatlamasıdır. Rough Bergomi'de bu yoktur. Fraksiyonel BM sürücüsü, Heston'ın karakteristik fonksiyonunu çözülebilir kılan afin yapıyı bozar.

Yalnızca Monte Carlo. Rough Bergomi altında bir vanilya opsiyonunu fiyatlamak için, varyans sürecinin yollarını simüle eder, terminal spot fiyatlarını hesaplar ve getirileri ortalarsınız. Standart Monte Carlo yakınsaması: 1/√N. 1 baz puan doğrulukta bir fiyat elde etmek için çok sayıda yola ihtiyacınız var.

fBM simüle etmek pahalıdır. Standart BM Markov'dur: bir sonraki adımı simüle etmek için yalnızca mevcut değere ihtiyacınız var. fBM Markov değildir: bir sonraki adımı doğru simüle etmek için yolun tüm geçmişine ihtiyacınız var. Naif bir Cholesky ayrıştırması bellekte yol başına O(N²) ve zamanda O(N³) maliyetindedir; burada N, zaman adımlarının sayısıdır. Bu, uzun yollar için acımasızdır.

Hibrit şemalar. Bayer, Friz ve Gatheral, fBM çekirdeğini bir "yakın" kısma (tam olarak hesaplanan) ve bir "uzak" kısma (birkaç baz fonksiyonuyla yaklaşık olarak hesaplanan) bölen bir hibrit şema önerdiler. Bu, maliyeti yol başına yaklaşık O(N · log N) seviyesine düşürür; bu da kalibrasyonu uygulanabilir kılar ancak bir alım-satım masasında gerçek zamanlı fiyatlama için hâlâ yeterince hızlı değildir.

PDE yok. Heston gibi Markov modelleri PDE'ler (sonlu farklar) aracılığıyla fiyatlanabilir. Bu, hızlı, ızgara tabanlı fiyatlama sağlar. Markov olmayan modellerin sonlu boyutlu bir durum uzayı yoktur, bu yüzden bir PDE yazamazsınız. "Markov olmama laneti", durumun sonsuz boyutlu olmasıdır (tüm yol geçmişi).

Hesaplama maliyeti karşılaştırması

Heston: Fourier tersine çevirme — opsiyon başına O(1) (mikrosaniyeler)

Rough Bergomi: Monte Carlo — O(N·M) opsiyon başına (saniyeler)

N = yol başına zaman adımları, M = yol sayısı. Tipik bir kalibrasyon, optimize edici adımı başına yüzlerce opsiyon fiyatının değerlendirilmesini gerektirir. Bu, rough Bergomi'yi aynı görev için Heston'dan 10.000 kat daha yavaş kılar.

Rough Bergomi pratikte nereye uyar:

1. Araştırma ve kalibrasyon çalışmaları. Akademisyenler ve nicel araştırmacılar, rough vol hipotezini doğrulamak ve diğer modelleri kıyaslamak için bunu kullanır. Hızlı modeliniz (SVI, SABR), rough Bergomi'nin öngördüğünden farklı bir skew veriyorsa, bir şeylerin yanlış olduğunu bilirsiniz.

2. Gece boyunca kalibrasyon. Bazı masalar, bir teşhis olarak gece boyunca rough Bergomi kalibrasyonu çalıştırır. Bu, hızlı gündüz modellerinin skew dinamiklerini kaçırıp kaçırmadığını onlara söyler.

3. Sezgiyi bilgilendirme. Modeli canlı olarak hiç çalıştırmasanız bile, rough vol'ü anlamak kısa vadeli opsiyonlar hakkında düşünme biçiminizi değiştirir. 1 günlük skew, modelinizin öngördüğünden daha dik göründüğünde, rough vol size bunun normal olduğunu söyler -- bu, piyasanın rough varyans yollarının kendini göstermesidir.

4. Sinir ağı vekilleri. Son çalışmalar, rough Bergomi fiyatlarına yaklaşmak için sinir ağlarını eğitir. Ağ, parametrelerden fiyatlara olan eşlemeyi çevrimdışı öğrenir (yavaş Monte Carlo kullanarak), ardından çalışma zamanında milisaniyeler içinde değerlendirir. Bu, sonunda rough vol'ü üretimde kullanılabilir kılabilir.

Daha büyük resim

Rough Bergomi, matematiksel finans ile ekonometrinin kesişiminde yer alır. Bir ölçümün (H ≈ 0.1) doğrudan bir modeli dikte ettiği nadir durumlardan biridir. Çoğu model önce icat edilir ve sonra uydurulur. Rough vol ise önce verilerde keşfedildi ve ikinci olarak formalize edildi. Bu ampirik temel, hesaplama maliyetine rağmen topluluğun bunu ciddiye almasının nedenidir.

Sonraki adımlar:

Heston Modeli -- Fourier fiyatlaması ile Markov stokastik oynaklık iş beygiri

SVI Parametrizasyonu -- kripto oynaklık yüzeyleri için hızlı gülümseme uydurma standardı

SABR Modeli -- ortalamaya dönüş olmadan stokastik oynaklık

İnterpolasyon Yöntemleri -- karşılaştırılan tüm yüzey oluşturma yöntemleri