Sıfırdan Merton Jump-Diffusion
1/5Black-Scholes çöküşleri yapamaz
Black-Scholes fiyatın sürekli hareket ettiğini varsayar — küçük tik küçük tik, ışınlanma yasak. Bu, zamanın %99'unda sorun değildir. Sizi havaya uçuran, geri kalan %1'dir.
Piyasalar boşluk (gap) yapar. Kazanç duyuruları, jeopolitik şoklar, protokol istismarları — fiyat, arada hiçbir şey olmadan bir seviyeden diğerine anında sıçrar. Yalnızca difüzyon bilen bir model, bu olaylara kelimenin tam anlamıyla olasılık atayamaz.
Robert Merton'ın çözümü (1976): difüzyonu koruyun, ama ikinci bir rastgelelik kaynağı ekleyin — bir Poisson süreci — bu süreç rastgele zamanlarda tetiklenir. Tetiklendiğinde fiyat, lognormal bir dağılımdan çekilen rastgele bir miktar kadar sıçrar.
dN — Poisson sayacı. Genellikle 0. Ara sıra 1 (bir sıçrama gerçekleşir).
J — sıçrama çarpanı. ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²). J = 0.9 ise fiyat anında %10 düşer.
λ — yıllık ortalama sıçrama sayısı. k = E[J − 1] — sürüklenmenin (drift) temiz kalması için kompansatör.
Aşağıda Merton modeli altında simüle edilmiş üç fiyat yolu görülüyor. Çoğu zaman yol pürüzsüz bir difüzyondur. Sonra dikey bir çizgi belirir — bu bir sıçramadır. Daha sık sıçramalar görmek için λ değerini artırın veya çöküş benzeri davranışı görmek için μJ değerini daha negatif yapın.
Difüzyonu bir odada yürümek gibi düşünün. Küçük, sürekli adımlar atarsınız. Şimdi zemine gizli kapaklar ekleyin. Adımların çoğu normaldir. Ama ara sıra bir kapaktan düşer ve beklenmedik bir yere inersiniz. Sıçrama bileşeni işte budur.
Üç yeni parametre
Merton, olağan σ (difüzyon oynaklığı) parametresinin üzerine, zımni oynaklık smile'ının şeklini birlikte kontrol eden üç parametre ekler. Her biri belirli bir iş yapar.
λ (lambda) — sıçrama sıklığı. Yılda ortalama kaç sıçrama olduğu. Daha yüksek λ sıçramaların daha sık olması anlamına gelir; bu da smile'ın her iki kanadını yükseltir. Eğer λ = 0 ise Black-Scholes dünyasına geri dönersiniz.
μJ (mu-J) — ortalama sıçrama büyüklüğü. Negatifse sıçramalar ağırlıklı olarak aşağı yönlüdür (çöküşler). Bu, smile'ı eğer — sol kanat (satım opsiyonları), sağ kanattan (alım opsiyonları) daha pahalı hale gelir. Sıfırsa sıçramalar simetriktir ve smile da kabaca simetriktir.
σJ (sigma-J) — sıçrama büyüklüğü oynaklığı. Sıçrama büyüklüğünün ne kadar değişken olduğu. μJ = 0 olsa bile, yüksek bir σJ bazı sıçramaların çok büyük, bazılarının çok küçük olması anlamına gelir. Bu, fazla basıklık (excess kurtosis) — normalden daha kalın kuyruklar — ekler ve kanat eğriliğini artırır.
Yukarıdaki kaydırıcılarla oynayın. Denenecek üç deney:
1. λ = 0 yapın. Smile düzleşir — saf BS.
2. λ = 2, μJ = −0.15,σJ = 0.05 yapın. Dik bir aşağı yönlü skew elde edersiniz — piyasa ralliden çok çöküş bekliyor.
3. μJ = 0, σJ = 0.30 yapın. Her iki kanat simetrik olarak yükselir — saf kalın kuyruklar, yön eğilimi yok.
Fiyatlama formülü
Merton'ın fiyatlama formülü zariftir: opsiyon fiyatı, olası her sıçrama sayısı için bir tane olmak üzere Black-Scholes fiyatlarının ağırlıklı toplamıdır. Vanilya BS call'larını fiyatlayabiliyorsanız, Merton'ı fiyatlayabilirsiniz.
σn² = σ² + nσJ²/τ — her ek sıçrama daha fazla etkin varyans ekler.
Ağırlık bir Poisson olasılığıdır — şu süre içinde tam olarak n olayın gerçekleşme olasılığı: τ.
Pratikte 10–15 terim yeterlidir, çünkü Poisson ağırlıkları hızla azalır.
Aşağıdaki görselleştirme, Merton fiyatını ilk altı terimine ayrıştırır. Sol panel, seçtiğiniz kullanım fiyatında her terim için çubuklar gösterir. Sağ panel, terimlerin tüm kullanım fiyatları boyunca nasıl üst üste bindiğini gösterir — hangi terimlerin başabaş (ATM) bölgede, hangilerinin kanatlarda baskın olduğunu görebilirsiniz.
Temel gözlem: n=0 terimi (sıfır sıçrama) sıradan Black-Scholes fiyatıdır. Daha yüksek terimler kanatlara giderek daha fazla değer ekler, çünkü sıçramalar etkin oynaklığı yükseltir ve uzak kullanım fiyatlarını ulaşılabilir kılar.
Kullanım fiyatı kaydırıcısını kanatlara götürün (K=80 veya K=120). Daha yüksek n'li terimlerin oransal olarak nasıl önem kazandığını izleyin. Başabaş (ATM) bölgede n=0 baskındır. Kanatlarda n=1 ve n=2 ciddi iş görmeye başlar — sıçrama primi işte orada yaşar.
Sıçrama riski hedge edilemez
Black-Scholes'ta delta hedge tüm riski ortadan kaldırır — sürekli olarak yeniden dengelersiniz ve difüzyon riski birbirini götürür. Sıçramalarla bu bozulur. Sıçrama anında gerçekleşir; yeterince hızlı yeniden dengeleyemezsiniz.
Bir düşünün: delta hedge, küçük fiyat değişimlerine karşılık dayanak varlık pozisyonunuzu ayarlayarak çalışır. Ama bir sıçrama küçük değildir — fiyat ışınlanır. Siz tepki verene kadar zarar (veya beklenmedik kazanç) gerçekleşmiş olur. Hedge'iniz sıçrama sonrası fiyata değil, sıçrama öncesi fiyata göre boyutlandırılmıştı.
Bu, Merton piyasasının eksik (incomplete) olduğu anlamına gelir. Yalnızca dayanak varlık ve tahville her getiriyi (payoff) replike edemezsiniz. Sıçrama riski, piyasanın fiyatlaması gereken ayrı bir risk faktörüdür. Gerçek dünyada opsiyonların, BS delta hedge mantığının ima ettiğinin üzerinde bir prim taşımasının nedeni budur.
Birkaç kez Yeniden Oluştur'a basın ve deseni izleyin. BS panelinde (solda), kümülatif PnL dolaşır ama görece sınırlı kalır — hedge işini yapıyor. Merton panelinde (sağda), PnL çoğu zaman benzer görünür, ama sonra kırmızı bir dikey çubuk belirir (bir sıçrama) ve PnL sarsılır.
Sıçrama kaynaklı PnL şokları μJ < 0 olduğunda asimetriktir: aşağı yönlü sıçramalar, (gama kısası olan) hedge yapan tarafa, yukarı yönlü sıçramaların sağladığı faydadan daha fazla zarar verir. Çöküş satım opsiyonlarının prim taşımasının temel nedeni budur — birilerinin bu hedge edilemez sıçrama riskini üstlenme karşılığında telafi edilmesi gerekir.
Merton vs. Heston vs. gerçeklik
Merton kısa vadeli smile'larda mükemmeldir. Heston uzun vadeli smile'larda mükemmeldir. Gerçeklik her ikisine de ihtiyaç duyar — Bates modelinin (Heston + sıçramalar) sektörün iş atı hâline gelmesinin nedeni budur.
İşte temel ayrım:
Kısa vadelerde sıçramalar baskındır. 1 haftalık bir opsiyon, stokastik oynaklığın anlamlı şekilde “yayılması” için çok kısadır. Ama tek bir sıçrama yine de uzak bir kullanım fiyatına ulaşabilir. Merton'ın sıçrama bileşeni, kısa vadeli kanat fiyatlarının birincil sürücüsüdür.
Uzun vadelerde stokastik oynaklık baskındır. 6 ay boyunca oynaklığın kendisi, tek başına kalın kuyruklar üretecek kadar aşağı yukarı dolaşır. Sıçrama olayları ortalamada “seyrelir” — 252 işlem gününde bir sıçrama, 5 işlem gününde bir sıçramadan daha az önemlidir.
Uzun vadeli kanatlar → vol-of-vol → Heston
Her ikisi → Bates = Heston + Merton sıçramaları
Pratik sonuç: Merton'ı 1 aylık opsiyonlara kalibre edip 1 yıllık opsiyonları fiyatlamak için kullanırsanız, uzun vadeli smile fazla düz olur. Sıçrama bileşeni √τ ile azalır, ancak oynaklığın kendisi belirsiz olduğu için piyasa smile'ı uzun vadelerde yüksek kalır.
Buna karşılık, tek başına Heston kısa vadeli kanatları düşük fiyatlar. Oynaklık süreci, piyasanın talep ettiği aşırı kısa vadeli basıklığı yaratamayacak kadar yavaştır. Bunun için sıçramalara ihtiyacınız var.
Black-Scholes: düz smile. Skew yok, kanat yok. En basit kıyas noktası.
Merton: özellikle kısa vadelerde kanatları yükselmiş smile. Skew, μJ < 0 olduğunda ortaya çıkar. Sıçramalar seyreldikçe smile vadeyle birlikte düzleşir.
Heston: vol-of-vol kaynaklı smile. Smile uzun vadelerde de kalıcıdır. Skew'i vol-spot korelasyonu üzerinden üretir (ρ).
Bates: Heston + Merton sıçramaları. Smile'ın vade yapısını kısa vadelerden uzun vadelere kadar yakalar. Hisse senetleri ve kripto için standart sektör tercihi.
Sıradaki adımlar:
Heston Modeli — stokastik oynaklık, resmin diğer yarısı
Bates Modeli — Heston + sıçramalar: sektörün iş atı
Kou Sıçrama-Difüzyonu — çift üstel kuyruklu asimetrik sıçramalar