Sıfırdan Kou Sıçramalı Difüzyon Modeli
1/5Merton'ın sıçramaları çok simetrik
Merton lognormal sıçramalar kullanır. Sıçrama boyutu dağılımı, bir yere merkezlenmiş tek bir çan eğrisidir. Yukarı ve aşağı sıçramalar aynı aileden çekilir. İşte sorun bu.
Gerçek çöküşler ralilerden daha keskindir. Bir stablecoin depeg'i, bir short squeeze'in ayna görüntüsü gibi görünmez. -20%'lik boşluk tek bir blokta gerçekleşir. +20%'lik rali bir hafta sürer. Sol kuyruk ile sağ kuyruğun ayrı ayrı kontrol edildiği bir modele ihtiyacınız var.
Kou (2002), lognormal sıçrama dağılımını bir çift üstel dağılımla değiştirerek bunu düzeltir. Yukarı sıçramalar bir oranda azalır. Aşağı sıçramalar farklı bir oranda azalır. İki ayrı kuyruk için iki ayrı ayar düğmesi.
In Merton: ln(J) ~ Normal(μJ, σJ²).
Kou'da: sıçrama büyüklüğü Y = ln(J) şu dağılımı izler: çift üstel, pozitif ve negatif değerler için ayrı azalma oranlarıyla.
Pratik sonuç: Merton'da, gülümsemenin sol kanadını dikleştirdiğinizde (μJ değerini daha negatif yaparak), sağ kanadı da beraberinde sürüklersiniz. Normal dağılım ortalaması etrafında simetriktir. Kou, kanatları tamamen birbirinden ayırır.
Çift üstel dağılım
Sıçrama boyutu Y, sıfırda birleştirilmiş iki üstel yarımdan oluşan bir yoğunluğa sahiptir. Her yarım kendi oranında sönümlenir. Temel yenilik budur.
f(y) = (1−p)·η₂·eη₂y for y < 0 (down-jumps)
η₂ aşağı sıçrama azalmasını kontrol eder. Küçük η₂ aşağı sıçramaların büyük olabileceği anlamına gelir (kalın sol kuyruk). Ortalama aşağı sıçrama = 1/η₂.
p belirli bir sıçramanın yukarı yönlü olma olasılığıdır.
Aşağıdaki parametreleri kaydırın ve yoğunluğun değişimini izleyin. Anahtar deney: η₁ değerini η₂ değerinden çok daha büyük ayarlayın. Sağ kuyruk (yukarı sıçramalar) inceleşir ve sıfıra yakın yoğunlaşır, sol kuyruk (aşağı sıçramalar) ise uzağa uzanır. İşte bu, çöküş riskinin şeklidir.
Denenecek üç deney:
1. η₁ = η₂ = 5, p = 0.5 ayarlayın. Yoğunluk simetriktir. Her iki kuyruk da aynıdır. Bu, sıfır ortalama sıçramalı Merton'a ruhen eşdeğerdir.
2. η₁ = 10, η₂ = 2, p = 0.3 ayarlayın. Kalın sol kuyruk, ince sağ kuyruk, çoğu sıçrama aşağı yöndedir. Klasik çöküş rejimi.
3. p değerini 0.9'a doğru çevirin. Çoğu sıçrama yukarı yönde olur, ancak gerçekleşen aşağı sıçramalar hâlâ bağımsız olarak η₂ tarafından yönetilir.
Asimetrik sıçramalar neden önemlidir
Şunun oranı: η₁ / η₂ ve p parametresi birlikte zımni oynaklık gülümsemesinin skew'ini kontrol eder. Kritik olarak, her bir kanadı bağımsız olarak kontrol ederler.
Bir kripto token'ını düşünün. Bir depeg çöküşü keskin ve derindir — bu, küçük bir η₂ demektir (kalın sol kuyruk). Normal yukarı yönlü fiyat hareketi kademelidir — bu, büyük bir η₁ demektir (ince sağ kuyruk). Ortaya çıkan gülümseme, dik bir put kanadına ve hafif bir call kanadına sahiptir. Piyasada tam olarak gördüğünüz şey budur.
Aşağıdaki gezginde, yalnızca η₂ değiştirmenin sağ kanadı hareket ettirmeden sol kanadı nasıl dikleştirdiğini izleyin. Ardından η₁ değiştirmeyi deneyin — sağ kanadı bağımsız olarak dikleştirir. Kou'nun pratik avantajı budur: her bir kanadı piyasaya ayrı ayrı uydurursunuz.
p'nin skew için neden önemli olduğu: eğer p = 0.3 ise (sıçramaların çoğu aşağı yönlüdür), sol kanat şişer çünkü OTM put'lar sürekli bir aşağı yönlü sıçrama riski akışı görür. Sağ kanat daha sessizdir — oraya daha az sıçrama iner.
Neden η oranının skew için önemli olduğu: p = 0.5 olsa bile (eşit sıçrama olasılığı), eğer η₂ şundan çok daha küçükse η₁, aşağı yönlü sıçramalar ortalama olarak çok daha büyüktür. Bu, put kanadını yükseltir çünkü aynı sayıda aşağı yönlü sıçrama, sıçrama başına daha fazla mesafe kat eder.
Kapalı-form avantajı
Üstel dağılımın özel bir özelliği vardır: o hafızasızdır. Bir sıçramanın belirli bir x bariyerini aştığını biliyorsanız, aşım (sıçrama − x) taze bir sıçramayla tam olarak aynı dağılıma sahiptir. Kou'ya kapalı formda bariyer fiyatları veren şey budur.
Bir bariyer opsiyonunun neye ihtiyaç duyduğunu düşünün: fiyatın bariyeri geçtikten sonra nereye ineceğinin dağılımını bilmeniz gerekir. Gauss sıçramalarıyla (Merton), aşım dağılımı bir karmaşadır — bariyerin ne kadar ötesine geçtiğinize bağlıdır. Üstel sıçramalarla, aşım hafızasızdır: bariyeri geçtiğinizi bilmeye koşullu dağılım, koşulsuz dağılımla aynıdır. Bu, matematiği işlenebilir kılar.
Sonuç: Kou (2004), knock-in/knock-out bariyerleri, lookback opsiyonları ve süresiz Amerikan opsiyonları için kapalı-form çözümler türetti. Merton'da böyle formüller yoktur. Egzotik ürünleri fiyatlıyor ve analitik Greekler'e ihtiyaç duyuyorsanız, Kou kazanır.
Sol panel, işaretli bir x eşiği ile tam üstel yoğunluğu gösterir. Gölgeli bölge, x'i aşma olasılığıdır. Sağ panel, şunun koşullu yoğunluğunu gösterir: fazlalık (Y − x), given Y > x. Eşiği kaydırın: koşullu yoğunluk her zaman orijinalle aynı şekle sahiptir. Bu, hafızasızlık özelliğidir.
Şunu hareket ettirin: η ve her iki panelin de aynı şekilde yeniden ölçeklendiğine dikkat edin. Fazlalığın şekli, eşiği nereye ayarladığınıza asla bağlı değildir. Bariyer fiyatlaması için bu, bariyerdeki aşım dağılımının analitik olarak bilindiği anlamına gelir — simülasyona gerek yok.
Kou vs Merton vs Heston
Her modelin bir rolü vardır. Kou'nun Merton ve Heston'a göre nereye oturduğunu anlamak son parçadır.
Kou: asimetrik sıçramalar, bağımsız kanat kontrolü, kapalı formda egzotikler. Belirgin çöküş asimetrisi olan piyasalar (kripto, tekil isim hisse senedi) için ve analitik bariyer veya lookback fiyatlarına ihtiyaç duyduğunuzda en iyisidir.
Merton: daha basit, simetrik sıçramalar. Daha az parametre. Gülümseme kabaca simetrik olduğunda veya yalnızca vanilya fiyatladığınızda yeterince iyidir. Sıçrama modelleri için endüstrinin başlangıç noktası.
Heston: stokastik oynaklık, sıçrama yok. Skew'i oynaklık-spot korelasyonu (ρ) aracılığıyla üretir. Vol-of-vol'ün vade yapısını yönlendirdiği uzun vadelerde baskındır. Sıçramaların yarattığı kısa vadeli kanat dikliğini üretemez.
Yukarıdaki grafik, aynı toplam sıçrama varyansına sahip Kou ve Merton gülümsemelerini üst üste bindirir. Her iki model de toplamda aynı miktarda sıçrama riski ekler, ancak Kou bunun daha fazlasını sol kuyruğa tahsis eder. Kou'nun sol kanadının nasıl daha kalın (daha dik put kanadı) olduğuna, sağ kanadının ise daha ince olduğuna dikkat edin. Merton, riski daha eşit şekilde böler.
Black-Scholes: düz gülümseme. Skew yok, kanat yok.
Merton: kanatları olan smile. Simetrik sıçrama dağılımı, her iki kanadın birlikte hareket etmesi anlamına gelir. Kısa vadeli vanilyalar için iyidir.
Kou: smile, bağımsız kanatlarla. Asimetrik sıçrama dağılımı. Kapalı formda bariyerler ve lookback'ler. Kripto için daha iyi uyum.
Heston: stokastik oynaklıktan gelen smile. Uzun vadelerde kalıcıdır. Sıçrama yok, bu yüzden kısa vadeli kanatlar çok düz kalır.
Bates: Heston + Merton sıçramaları. İş atı. En zorlu uygulamalar için, Merton sıçrama bileşenini Kou tarzı çift üstel sıçramalarla değiştirin.
Bundan sonra nereye:
Merton Sıçrama-Difüzyon — simetrik sıçramalı öncül
Variance Gamma — hiç difüzyonu olmayan saf sıçrama modeli
Heston Modeli — stokastik oynaklık, sıçrama yok
Bates Modeli — Heston + sıçramalar: sektörün iş atı