Sıfırdan Heston
1/5Varyans canlıdır
Black-Scholes, oynaklığı kontrata damgalanmış sabit bir sayı gibi ele alır. Asla değişmez. Dünyanın böyle işlemediği açıktır. Heston bunu, varyansa kendi stokastik diferansiyel denklemini vererek düzeltir.
Black-Scholes'ta, spot fiyat sabit bir σ ile tek bir SDE izler. Her opsiyon, her kullanım fiyatı, her vade sonu aynı oynaklığı kullanır. Model kendi içinde tutarlıdır ama yanlıştır: piyasa her kullanım fiyatı için farklı bir σ kote eder. Bu gülümsemedir ve BS bunu üretemez.
Spot fiyatı bir araba, varyansı ise yol yüzeyi olarak düşünün. BS'de yol her yerde kusursuz derecede pürüzsüz asfalttır. Heston'da yol yüzeyinin kendisi değişir -- bazen çakıl, bazen buz, bazen yeni asfalt. Araba, üzerinde olduğu yüzeye tepki verir. Yol ne kadar engebeliyse, sürüş o kadar sarsıntılı olur.
Heston şunu söyler: spot BS gibi hareket eder ama değişken bir √v ile, sabit yerine σ. Ve varyans, kendi ortalamaya dönen karekök sürecini izler:
İkinci satır: varyansın kendi sürüklenmesi vardır (şuna doğru çekilir θ) ve kendi gürültüsü vardır (şununla ölçeklenir σ).
Üçüncü satır: iki Brownian hareketi korelasyonludur. Skew'in arkasındaki motor budur.
Bu ikinci denklem bir CIR (Cox-Ingersoll-Ross) sürecidir -- faiz oranları için kullanılan sürecin aynısı. Yerleşik bir tabanı vardır: √v difüzyon terimi v sıfıra yaklaştıkça küçülür, bu da varyansın negatife gitmesini engeller (doğru koşullar altında).
Sonuç: oynaklık sıçrayabilir, sönümlenebilir, kümelenebilir ve spotla birlikte hareket edebilir. Bu desenlerin tümü gerçek piyasalarda görülür. BS bunların hiçbirini üretemez. Heston üretebilir.
Beş parametre
Heston'ın tam olarak beş serbest parametresi vardır. Her biri piyasa davranışı hakkında ayrı bir hikâye anlatır. Onları bir gösterge paneli gibi okumayı öğrenin.
κ (kappa) -- ortalamaya dönüş hızı. Varyansın uzun vadeli seviyesine ne kadar sert çekildiği. Yüksek κ oynaklık sıçramalarının kısa ömürlü olduğu anlamına gelir: süreç hızla geri döner. Düşük κ oynaklık rejimlerinin kalıcı olduğu anlamına gelir. Kriptoda,κ genellikle düşük olma eğilimindedir -- bir şoktan sonra oynaklık yüksek kalır.
θ (theta) -- uzun vadeli varyans. Varyansın zamanla yöneldiği seviye. Eğer şunu alırsanız √θ, kabaca uzun vadeli ATM oynaklığını elde edersiniz. BTC için bu tipik olarak yıllık %50-70 civarındadır.
σ (sigma) -- vol-of-vol. Varyans sürecinin kendisinin ne kadar düzensiz olduğu. Şu durumda σ = 0, hiçbir smile yoktur -- deterministik bir oynaklık dünyasına geri dönmüş olursunuz. σ arttıkça, smile'ın her iki kanadı da yükselir. Şöyle düşünün: varyansta daha fazla rastgelelik = daha kalın kuyruklar = daha pahalı OTM opsiyonları.
ρ (rho) -- spot-oynaklık korelasyonu. Spot hareketleri ile oynaklık hareketleri arasındaki yön bağlantısı. Negatif ρ spot aşağı, oynaklık yukarı anlamına gelir. Bu, skew için tek başına en önemli parametredir. Bir sonraki bölümde derinlemesine ele alacağız.
v₀ -- başlangıç varyansı. Varyansın şu anda nerede olduğu. Eğer v₀ şunun üzerindeyse θ, kısa vadeli opsiyonlar mevcut stresi fiyatlarken uzun vadeli opsiyonlar normale doğru geri yaslanır. Bir oynaklık sıçramasından sonra, v₀ >θ ve vade yapısı tersine döner.
Yukarıdaki kaydırıcıları sürükleyin. Her seferinde tek bir parametreye odaklanın. En büyük içgörü: ρ smile'ı sola veya sağa eğer. σ onu genişletir. κ/θ/v₀ seviyeyi ve vade yapısını belirler.
Korelasyon skew'i nasıl yaratır
Bu, Heston'ın temel matematiksel içgörüsüdür. Negatif ρ, spot düştüğünde varyansın yükselme eğiliminde olduğu anlamına gelir. Bu tek ilişki, hisse ve kripto piyasalarında gördüğünüz sola eğik gülümsemenin tamamını üretir.
İşte mekanizma, adım adım:
1. Spot düşer (dW₁ negatiftir).
2. Çünkü ρ < 0, dW₂ pozitif olma eğilimindedir.
3. Pozitif dW₂ varyansı yukarı iter.
4. Daha yüksek varyans, dayanak varlığın artık daha oynak olduğu anlamına gelir.
5. OTM put opsiyonları (düşük kullanım fiyatları) karda sona erme olasılığı artar.
6. Piyasa bunları daha yüksek fiyatlar. Gülümsemenin sol kanadı yükselir.
Tersi de geçerlidir: spot yukarı, oynaklık aşağı. Call tarafındaki opsiyonlar oynaklık priminin bir kısmını kaybeder. Bu yüzden sağ kanat genellikle sol kanattan daha düzdür.
Yukarıdaki üç ön ayar arasında geçiş yapın. Fark çarpıcıdır:
ρ = −0.7: Güçlü sol skew. Hisse senedi ve kripto piyasaları böyle görünür. Aşağı yönlü koruma pahalıdır çünkü piyasa düştüğünde oynaklık aniden yükselir.
ρ = 0: Simetrik gülümseme. Spot ile oynaklık arasında yönsel bir tercih yok. Vol-of-vol'dan saf bir eğrilik elde edersiniz, ancak eğim yoktur.
ρ = +0.3: Sağ skew. Yukarı yönlü opsiyonlar görece pahalıdır. Bu pratikte nadirdir ancak arz şoklarının hem fiyatı hem de belirsizliği birlikte yukarı ittiği emtia piyasalarında görülebilir.
ρ doğrudan şuna eşlenir: vanna maruziyeti. Vanna, delta'nın oynaklıktaki değişimlere duyarlılığıdır. Ne zamanρ güçlü şekilde negatif olduğunda, OTM put opsiyonları büyük pozitif vanna'ya sahiptir: oynaklık yükseldikçe deltaları daha da negatif hale gelir. Kısa put pozisyonlarının bir satış dalgasında daha tehlikeli hale gelmesinin nedeni budur -- bunlar kısa vanna'dır.
Karakteristik fonksiyon
Çoğu stokastik oynaklık modeli fiyatlama için Monte Carlo simülasyonu gerektirir. Heston'ın bir püf noktası vardır: opsiyonları bilinen bir karakteristik fonksiyonun Fourier ters dönüşümüyle fiyatlayabilirsiniz. Simülasyona gerek yoktur.
Standart Black-Scholes call fiyat formülü şu forma sahiptir C = S·N(d₁) − K·e−rTN(d₂). Heston benzer bir yapıya sahiptir:
Anahtar nesne karakteristik fonksiyondur φ(u). Vade sonundaki log-spot fiyatının olasılık dağılımı hakkındaki her şeyi kodlar. Bunu dağılımın frekans uzayındaki parmak izi olarak düşünün.
Bu neden işe yarıyor? Üç adım:
1. Moment üreten fonksiyon. Heston SDE afin olduğundan (durum değişkenlerinde doğrusal), moment üreten fonksiyonu kapalı formda çözülebilir. Heston'ı özel kılan matematiksel tesadüf budur.
2. Karakteristik fonksiyon = sanal eksende MGF. Karakteristik fonksiyon φ(u) = E[eiu·X] where X = ln(ST). Bir kez MGF'ye sahip olduğunuzda, φ.
3. Yoğunluk için tersine çevir, fiyat için integrali al. Standart Fourier tersine çevirme, riskten bağımsız yoğunluğu şuradan geri kazanır: φ. Bu yoğunluğun getiriye karşı integralini almak size opsiyon fiyatını verir. İntegral tek boyutludur ve mikrosaniyeler içinde yakınsar.
Sonuç: tam bir gülümseme, dakikalar değil milisaniyeler içinde hesaplanır. Bu, kalibrasyonu mümkün kılar. Bir optimizasyon algoritması içinde bu integrali binlerce kez değerlendirerek beş parametreyi gözlemlenen bir gülümsemeye oturtabilirsiniz.
Heston'dan (1993) önce, stokastik oynaklık modelleri vardı ama pratik değildi -- tek bir opsiyonu fiyatlamak için yolları simüle etmeniz gerekiyordu. Heston'ın karakteristik fonksiyonu, stokastik oynaklığı bir işlem masasında kullanılabilir hale getirdi. Her ardıl model (Bates, çift Heston, rough Bergomi) bu Fourier fiyatlama yapısını korumaya veya yaklaşık olarak yansıtmaya çalışır.
Heston nerede yetersiz kalır
Heston zariftir ama gerçek sınırları vardır. Varyans süreci sıfıra değebilir, gülümseme şekli kripto için fazla katıdır ve beş parametreli uydurma problemi yerel optimumlarla dolu bir mayın tarlasıdır.
Feller koşulu. Varyansın kesinlikle pozitif kalması için şuna ihtiyacınız vardır:
Pratikte, uyarlanmış Heston parametreleri Feller koşulunu sık sık ihlal eder. Piyasa, Feller koşulunun izin verdiğinden daha fazla vol-of-vol (σ) ister. İhlal edildiğinde, varyans süreci sıfıra dokunabilir ve "yansıtılmalı" veya "soğurulmalıdır" -- bu da sayısal baş ağrıları yaratır ve modeli kanatlarda daha az güvenilir kılar.
σ değerini yukarı çekin ve Feller koşulunun bozulmasını izleyin. Kırmızı yollar sıfıra ulaşır. Gerçek bir fiyatlama motorunda bu sıfır temasları, işlemleri yavaşlatan ve ince hatalar getiren özel işlem gerektirir.
Kripto gülümsemeleri çok diktir. Kısa vadeli kripto opsiyonları genellikle son derece dik skew'lere ve geniş kanatlara sahiptir. Heston'ın CIR varyans süreci bunu yakalamak için fazla pürüzsüzdür. Modelin kanat davranışı sabit bir eğime yaklaşır, ancak gerçek kripto kanatları bundan daha diktir. Kripto masalarının şunu kullanmasının nedeni budur: SVI veya SSVI yüzey uydurma için ve Heston'ı üretim düzeyinde bir uydurma motoru olarak değil, kavramsal bir araç olarak değerlendirin.
Beş parametreli uydurma kararsızdır. Farklı parametre kombinasyonları neredeyse aynı gülümsemeleri üretebilir. Optimize edicinin birden fazla yerel minimumu vardır. Günden güne kalibrasyonlar, benzer fiyatlar üretirken çılgınca farklı parametre kümeleri arasında sıçrayabilir. Bu, riskten korunmayı güvenilmez kılar çünkü Greek'ler hangi parametre kümesine ulaştığınıza bağlıdır.
Bu sorunları çözen uzantılar:
Bates = Heston + sıçramalar. Spot sürecine bir sıçrama bileşeni eklemek, mantıksız σ değerlerine ihtiyaç duymadan daha kalın kısa vadeli kanatlar verir. Sıçrama yoğunluğu ve büyüklüğü ekstra parametreler ekler, ancak karakteristik fonksiyon hâlâ yarı kapalı bir forma sahiptir.
Stokastik lokal oynaklık (SLV). Heston tarzı stokastik varyansı bir lokal oynaklık katmanıyla birleştirir. Gözlemlenen yüzeye tam kalibrasyon (lokal oynaklıktan) artı gerçekçi dinamikler (stokastik bileşenden) elde edersiniz. Birçok üretim masasının aslında çalıştırdığı budur.
Rough Bergomi. Pürüzsüz CIR varyans sürecini fraksiyonel Brownian hareketiyle (Hurst parametresi H yaklaşık 0.1) değiştirir. Varyans yolları pürüzlü ve tırtıklı hale gelir, gözlemlenen oynaklık davranışıyla çok daha iyi eşleşir. Maliyeti: kapalı formda karakteristik fonksiyon yoktur.
Sıradaki adımlar:
SVI Parametrizasyonu -- kripto oynaklık yüzeyleri için gülümseme uydurma standardı
SABR Modeli -- ortalamaya dönüş olmadan stokastik oynaklık, daha basit uydurma
Rough Bergomi -- kesirli stokastik oynaklık, pürüzlü yollar
İnterpolasyon Yöntemleri -- tüm yöntemlerin karşılaştırması