Kaydırılmış difüzyon – sıfırdan

1/5

Bölüm 1

Orijini kaydırın, smile elde edin

Black-Scholes, spot fiyatın mevcut seviyesinden lognormal olarak yayıldığını varsayar. Kaydırılmış difüzyon tek bir şeyi değiştirir: orijini kaydırır. Difüzyon hâlâ lognormaldir, ancak üzerinde yaşadığı eksen yer değiştirmiştir.

SDE son derece basittir:

Kaydırılmış difüzyon SDE'si

dS = σ·(S + d)·dW

S spot fiyattır. d kaydırma (displacement) parametresidir. σ kaydırılmış değişkenin oynaklığıdır. d = 0 olduğunda bu Black-Scholes'tur.

Modelin tamamı budur. Standart BS'ye eklenen tek bir ekstra parametre: d. Difüzyon katsayısı yalnızca S ile değil, (S + d) ile orantılıdır. Bu kayma, lognormal smile'ın simetrisini bozar ve skew yaratır.

Orijini kaydırmak neden skew üretir? Çünkü kaydırılmış değişkenin yüzdesel oynaklığı σ iken, S'nin kendi yüzdesel oynaklığı seviyeye göre değişir. S düşükken S + d, S'ye kıyasla görece büyüktür; dolayısıyla yüzdesel anlamda efektif oynaklık daha yüksektir. S yüksekken kaydırma d'nin önemi azalır ve BS durumuna yaklaşırsınız.

Zihinsel model

Farklı bir sıfır noktasından ölçüm yaptığınızı hayal edin. 0'dan ölçmek yerine −d'den ölçersiniz. Dayanak varlık değişmedi, ancak ölçüm çubuğu değişti. Referans çerçevesindeki bu değişiklik, eğik bir smile üretmeye yeter.

Bölüm 2

Kaydırma parametresi

Kaydırma d, elinizdeki tek düğmedir. Skew'in yönünü ve büyüklüğünü kontrol eder. Ne yaptığını anlamak, tüm modeli anlamak demektir.

d > 0 (pozitif kaydırma): Orijin sağa kayar. Belirli bir σ için düşük fiyatlar daha büyük bir efektif oynaklık görür (çünkü S + d, S'ye göre büyüktür), yüksek fiyatlar ise daha küçüğünü görür. Sonuç: zımni oynaklık eğrisi soldan sağa aşağı eğimlidir. Bu negatif skew'dir -- hisse senedi ve kripto piyasalarıyla aynı yön.

d < 0 (negatif kaydırma): Orijin sola kayar. Artık yüksek fiyatlar orantısal olarak daha fazla oynaklık görür. Sonuç: pozitif skew. Bu yaygın değildir, ancak oynaklığın fiyatla birlikte yükseldiği piyasaları (örneğin bazı emtialar) modelleyebilir.

d = 0: Kayma yok. Black-Scholes'a geri dönersiniz. Düz smile.

Displacement Kaydırıcısı

d20

d = 20 — Pozitif kayma: negatif skew (düşük kullanım fiyatlarında oynaklık yükselir)

ATM IV30.0%

90/100 put skew+2.7%

110/100 call skew-2.3%

Yukarıdaki kaydırıcıyı sürükleyin. d'yi artırdıkça smile'ın giderek nasıl eğildiğine dikkat edin. Kaydırılmış difüzyon smile'ında eğrilik yoktur -- kanatlarda neredeyse doğrusaldır. Temel kısıt budur: DD eğim üretebilir, ancak gerçek piyasalarda gördüğünüz U şeklini üretemez.

Bölüm 3

Kaydırılmış difüzyon = kaydırılmış Black-Scholes

DD'yi bu kadar kullanışlı yapan operasyonel içgörü şudur: yeni bir fiyatlama formülüne ihtiyacınız yok. Standart Black-Scholes'u kaydırılmış girdilerle çalıştırırsınız. S yerine (S + d), K yerine (K + d) koyun. Bitti.

Mantık basittir. S̃ = S + d tanımlayın. Ardından SDE dS̃ = σ·S̃·dW haline gelir, ki bu kaydırılmış değişken için sadece geometrik Brownian hareketidir. Standart BS, S̃ için kullanım fiyatı K̃ = K + d.

Fiyatlama eşlemesi

C(S, K, σ, d) = BS_call(S + d, K + d, σ)

BS alım opsiyonlarını fiyatlayabilen her sistem, DD alım opsiyonlarını da fiyatlayabilir. Kaydırılmış girdileri verin, fiyatı okuyun. Greek'ler de zincir kuralı düzeltmesiyle aynı şekilde çalışır.

Kaydırılmış Black-Scholes Eşlemesi

Standart Black-Scholes

C = S·N(d₁) − K·e^−rT·N(d₂)

S = 100, K = 95, σ = 30%

Ham spot ve kullanım fiyatıyla fiyatlar. Kaydırma yok. Düz bir smile üretir.

→

Kaydırılmış Difüzyon (Displaced Diffusion)

C = (S+d)·N(d₁′) − (K+d)·e^−rT·N(d₂′)

S+d = 120, K+d = 115, σ = 30%

Aynı BS formülü, aynı σ. Sadece kaydırılmış girdileri kullanın. Smile, formülü değiştirmekten değil, kaydırmadan doğar.

d20

With d = 20: low strikes get a bigger percentage boost (95+20 = 115) than high strikes. That asymmetry is where the skew lives.

İşte bu yüzden DD, negatif faiz döneminde faiz masaları tarafından bu kadar hızlı benimsendi. Yeni yazılıma ihtiyaçları yoktu. Girdilerine bir kayma eklediler ve tüm Black-Scholes altyapılarını çalışır durumda tuttular. Kayma genellikle günde bir kez, ATM oynaklığı ve bir ek noktadan kalibre edilirdi.

Greek'ler de kayar. Delta, kaydırılmış opsiyonun BS deltasıdır. Gama, BS gamasıdır. Vega, BS vegasıdır. Tek incelik, hedge hesaplarken duyarlılıkları orijinal (kaydırılmamış) koordinatlara geri ayarlamanız gerektiğidir.

Bölüm 4

CEV ve SABR ile bağlantı

Kaydırılmış difüzyon, CEV modelinin doğrusallaştırılmış versiyonudur. β = 1 ve bir kaydırma parametresine sahip SABR, yaklaşık olarak kaydırılmış difüzyondur. Bu bağlantıyı anlamak, DD'nin model hiyerarşisinde tam olarak nerede durduğunu gösterir.

CEV (sabit varyans esnekliği) şunu kullanır: dS = σ·Sᵝ·dW burada β elastikiyettir. β = 1 olduğunda BS'dir. β < 1 olduğunda, oynaklık düşük S'de daha yüksek ve yüksek S'de daha düşüktür -- DD ile aynı niteliksel davranış.

Bağlantı: Sᵝ öğesinin S = F etrafındaki birinci dereceden Taylor açılımı, β ve F'ye bağlı belirli bir d için yaklaşık olarak (S + d) verir. Yani DD, CEV'nin forward etrafında doğrusallaştırılmış yaklaşımıdır. ATM yakınında neredeyse aynı gülümsemeleri üretirler ve uzak kanatlarda ayrışırlar.

Displaced Diffusion vs CEV

β0.50

d25

Displaced diffusion (düz çizgi)

CEV (kesikli çizgi) — ATM'de eşleştirilmiş

İki eğrinin ATM yakınında nasıl örtüştüğüne, ancak kanatlarda ayrıştığına dikkat edin. DD, kullanım fiyatında neredeyse doğrusal bir smile üretir. CEV ise güç yasası omurgası büküldüğü için eğrilik üretir. ATM'ye yakın birkaç kullanım fiyatı dahilindeki çoğu pratik amaç için birbirlerinin yerine kullanılabilirler.

SABR bağlantısı: SABR modelinde β = 1 alındığında lognormal SABR elde edilir. Forward'a bir kayma eklemek (kaydırılmış SABR), kaydırılmış değişken üzerinde SABR(β = 1) verir. Oynaklığın oynaklığının sıfır olduğu limitte (ν = 0), bu tam olarak kaydırılmış difüzyona indirgenir. Yani DD, kaydırılmış SABR'nin dejenere bir durumudur -- o ailenin mümkün olan en basit üyesi.

Bu yüzden DD, BS'ye skew eklemenin en basit yolu olarak adlandırılır. Bir ekstra parametre, tek yönlü bir eğim ve mevcut BS altyapısıyla tam uyumluluk elde edersiniz. Eğriliğe, kanatlara veya stokastik dinamiklere ihtiyacınız varsa CEV, SABR veya Heston'a geçersiniz.

Bölüm 5

Ne zaman yeterlidir

DD, Black-Scholes'un tek parametreli bir uzantısıdır. Bu hem gücü hem de sınırıdır. Ne zaman kullanacağınızı ve ne zaman ötesine geçeceğinizi bilin.

DD'yi şu durumlarda kullanın:

1. Hızlı bir skew düzeltmesine ihtiyacınız var ve tam bir modele ihtiyacınız yok. Bir masa sohbeti için kabaca bir skew kote etmek, daha karmaşık bir modelin sağlamasını yapmak veya eğimin kanatlardan daha önemli olduğu bir vanilla portföyü fiyatlamak.

2. Dayanak varlığınız sıfıra veya negatife gidebiliyor (faizler, spread'ler). Kaydırma, orijinal değişken sıfırı geçse bile kaydırılmış değişkeni pozitif tutar. Bu, kanonik kullanım senaryosudur -- negatif faiz dönemindeki faiz masaları kaydırılmış lognormal ile yaşadı.

3. Mevcut BS altyapısını olduğu gibi korumak istiyorsunuz. Yeni sayısal yöntem yok, Monte Carlo yok, Fourier tersinimi yok. Sadece girdileri kaydırın.

Şu durumlarda DD'nin ötesine geçin:

1. Smile eğriliğine ihtiyacınız var. DD neredeyse doğrusal bir skew üretir. Gerçek piyasalarda her iki kanatta da dışbükeyliğe sahip U şeklinde smile'lar vardır. DD bunu yakalayamaz.

2. Dinamik smile davranışına ihtiyacınız var. DD statik bir modeldir -- kaydırma sabittir. Spot hareket ettiğinde smile'ın nasıl hareket ettiği hakkında hiçbir şey söylemez. Dinamik hedge için SABR, Heston veya SLV gerekir.

3. Egzotik ürünler fiyatlıyorsunuz. Yola bağımlı opsiyonlar, yalnızca bir anlık görüntüyü değil, oynaklığın dinamiklerini tanımlayan bir model gerektirir. DD'de oynaklık dinamiği yoktur.

Özellikle kripto için DD fazla basittir. Kripto smile'ları dik, eğimli ve dinamiktir. DD size kaba bir ilk eğim verebilir, ancak üretim düzeyindeki herhangi bir yüzey SVI, SABR veya daha sofistike bir model kullanacaktır.

Daha geniş resim

Model hiyerarşisini bir merdiven gibi düşünün: Black-Scholes (düz smile) → kaydırılmış difüzyon (eğik smile) → CEV/SABR (dinamiklere sahip eğri smile) → Heston/SLV (zengin yapılı stokastik oynaklık). Her adım karmaşıklık ekler, ancak açıklama gücü de katar. DD, BS'nin üzerindeki ilk basamaktır. Üretimde hiç kullanmasanız bile bilmeye değer, çünkü size skew'in temelde oynaklığın dayanak varlık seviyesiyle nasıl ölçeklendiğiyle ilgili olduğunu öğretir.

Buradan nereye:

CEV Modeli -- DD'nin eğri smile'lara sahip, doğrusal olmayan kuzeni

SABR Modeli -- omurga üzerinde stokastik oynaklık, üretim standardı

SVI Parametrizasyonu -- doğrudan smile uydurma, kripto standardı