Sıfırdan CEV

1/5

Bölüm 1

Tek bir parametre tüm omurgayı kontrol eder

CEV muhtemelen skew üreten en basit modeldir. Tek bir üs -- β -- difüzyon katsayısının spot seviyesiyle nasıl ölçekleneceğine karar verir. İşin tüm hilesi budur.

Black-Scholes'ta spot SDE dS = σ·S·dW. Gürültü terimi S ile orantılıdır, dolayısıyla yüzde oynaklık sabittir. CEV bunu şu şekilde genelleştirir:

CEV dinamikleri

dS = σ·S·^β·dW

β = 1: Black-Scholes'a (lognormal) geri dönersiniz. Yüzde oynaklık sabittir.
β = 0: Bachelier / normal modeli elde edersiniz. Difüzyon σ·dW -- toplamsal gürültü, fiyata hiçbir bağımlılık yok.
0 < β < 1: ikisi arasında bir şey. Difüzyon S ile büyür, ancak orantılı olandan daha yavaş.

Zihinsel model

Şunu düşünün: β bir mikser masasındaki bir düğme gibi. Tamamen sağda (β = 1) lognormal dünyayı elde edersiniz -- sabit yüzde salınımları. Tamamen solda (β = 0) normal dünyayı elde edersiniz -- sabit dolar salınımları. Aradaki her şey bir karışımdır. Model sıçramaları, rejimleri veya stokastik oynaklığı umursamaz. Sadece şunu sorar: rastgele şokun büyüklüğü fiyat seviyesine nasıl bağlıdır?

CEV altında yüzde oynaklık σ·S^β−1. Şu durumda β < 1, üs negatiftir, dolayısıyla S düştükçe yüzde oynaklık artar. İşte bu kaldıraç etkisidir ve CEV skew'inin ardındaki tüm motordur. Ekstra parametre yok, ekstra gürültü kaynağı yok. Sadece üs.

β Spektrumu

Black-Scholes / Lognormal

β = 1.0

dF = σ · F · dW

Difüzyon F ile orantılıdır. Bu, sıradan geometrik Brown hareketidir. Yüzdesel oynaklık sabittir. Zımni oynaklık gülümsemesi düzdür — hiç skew yoktur.

Bölüm 2

β < 1 spot düştüğünde oynaklığın artması anlamına gelir

Bu kaldıraç etkisidir. Hisse senedi ve kripto piyasalarında, spot düştüğünde oynaklık tutarlı bir şekilde yükselir. CEV, β < 1 ile bunu ikinci bir stokastik faktöre ihtiyaç duymadan mekanik olarak yakalar.

Eğer β = 0.5 ise, yerel oynaklık fonksiyonu σ·√S. S 100'den 50'ye düştüğünde, yerel oynaklık orantılı olarak düşmez -- yalnızca √(50/100) ≈ 0.71 kadar düşer. Ama spot yarı yarıya düştü. Yüzde oynaklık aslında artar.

Etki otomatik ve deterministiktir. Ayarlanacak bir korelasyon parametresi, ikinci bir Brownian hareketi yok. Fiyat-oynaklık ilişkisi tek üs olan β.

Bu, herhangi bir ek parametre olmadan zımni oynaklıkta negatif skew yaratır. Piyasa düştüğünde oynaklık mekanik olarak yükselir, dolayısıyla OTM satım opsiyonları daha değerli hale gelir. Gülümsemenin put kanadı yükselir.

Kaldıraç Etkisi Simülatörü

CEV fiyat patikaları

Gerçekleşen oynaklık vs fiyat seviyesi

β0.50

β = 0.50 — Orta düzey kaldıraç etkisi

Yukarıdaki simülatör bunu açıkça gösterir. Sol panel: CEV fiyat yolları. Şu durumda β < 1, düşen yollar gözle görülür şekilde daha gürültülü olur -- daha düşük seviyelerde daha geniş salınımlar. Sağ panel: fiyat seviyesine karşı çizilmiş pencereli gerçekleşen oynaklık. Negatif eğim kaldıraç etkisidir.

Ayarlayın: β = 1 ve saçılım grafiği düzleşir. Fiyat-oynaklık bağımlılığı yoktur. İşte bu Black-Scholes dünyasıdır.

Ayarlayın: β > 1 ve ilişki tersine döner: oynaklık fiyatla birlikte yükselir. Bu, pratikte olağandışıdır, ancak size modelin tüm aralığını gösterir.

Yatırımcılar neden önemser

Kaldıraç etkisi yalnızca bir model merakı değildir. Hisse senetleri, kredi ve kripto için gerçekleşen verilerde gözlemlenebilir. Piyasalar satışa geçtiğinde gerçekleşen oynaklık zıplar. CEV bunun oynaklığın kendi rastgele sürecine sahip olmasından kaynaklanmadığını söyler -- bu, difüzyon katsayısının mekanik olarak fiyat seviyesine bağlı olmasındandır. Skew için mümkün olan en ucuz açıklamadır.

Bölüm 3

CEV'den zımni oynaklık gülümsemesi

CEV, tamamen şunun tarafından kontrol edilen belirli bir zımni oynaklık şekli üretir: β. Şekil bir eğimdir, bir U değildir. CEV skew yapabilir ama simetrik bir gülümseme üretemez.

Eşleme basittir:

β = 1: Düz gülümseme. Skew yok, eğrilik yok. Bu Black-Scholes'tur.

β < 1: Negatif skew. Put kanadı yükselir, call kanadı bastırılır. β 1'in ne kadar altındaysa, skew o kadar diktir.

β > 1: Pozitif skew. Call kanadı yükselir, put kanadı düşer. Hisse senedi/kriptoda nadir ama bazı emtia piyasalarında mümkün.

Kritik olarak, CEV'den gelen gülümseme monotoniktir. Şu ya da bu yöne doğru eğilir, ancak bir U-şekline sahip değildir. Her iki kanadın aynı anda yükselmesi için bir mekanizma yoktur, çünkü simetrik kanat zenginleşmesi yaratacak vol-of-vol veya stokastik varyans yoktur.

β Backbone Gezgini

Yerel vol fonksiyonu

Oluşan gülümseme

β0.50

Rejim: Alt-lognormal (negatif skew)

ATM IV3.0%

90/100 put skew+0.1%

β0.50

Yerel vol eğimiTers

Yukarıdaki gezgin her iki parçayı da gösterir: yerel oynaklık fonksiyonu σ·S^β solda ve ortaya çıkan zımni oynaklık gülümsemesi sağda. Sürükleyin β ve birlikte hareket etmelerini izleyin. Yerel oynaklık eğimi, gülümseme eğilimini doğrudan yönlendirir.

β = 1 iken, yerel oynaklık fonksiyonu orijinden geçen düz bir çizgidir (S ile orantılı). Gülümseme düzdür. β 1'in altına düştükçe, yerel oynaklık fonksiyonu yüksek S'de aşağıya doğru kıvrılır -- yani süreç daha yüksek fiyatlarda daha az oynak hale gelir. Gülümseme sola eğilir.

Yaklaşık zımni oynaklık

σ_impl(K) ≈ σ·F^β−1 · [1 − ½(1−β) · ln(K/F) + ...]

Baştaki skew terimi −½(1−β). Ne zaman ki β < 1, bu negatiftir: daha düşük kullanım fiyatları daha yüksek zımni oynaklık alır. Açılım, skew dikliğinin şuna göre doğrusal olduğunu gösterir (1−β).

Bölüm 4

SABR'ın omurgası olarak CEV

SABR’s forward equation is dF = σ·F^β·dW₁. Bu tam olarak CEV sürecidir. SABR sadece oynaklık parametresinin kendisi için ikinci bir SDE ekler.

Tam SABR sistemi şudur:

SABR sistemi

dF = σ·F^β·dW₁

dσ = ν·σ·dW₂

corr(dW₁, dW₂) = ρ

Birinci satır: CEV omurgası. Aynı β üssü, aynı mekanik.
İkinci satır: σ artık stokastik. ν (vol-of-vol) şunun ne kadar σ dolaştığını kontrol eder. Ne zaman ki ν = 0, σ sabittir ve saf CEV'e geri dönersiniz.
Üçüncü satır: iki Brownian hareketi korelasyonludur. ρ zaten sağladığının üstüne ek bir eğilim ekler β.

Yani CEV, SABR'ın deterministik temelidir. β üssü, gülümsemenin omurga şeklini kontrol eder. SABR daha sonra üstüne stokastik oynaklık ekler: ν eğrilik oluşturur (kanat zenginleşmesi) ve ρ ek bir yönsel eğilim ekler.

Pratikte, faiz masaları genellikle β değerini geleneksel bir değere sabitler (faizler için 0.5, rejime bağlı olarak bazen 0 veya 1) ve ardından gözlemlenen gülümsemeye göre σ, ν, ρ kalibre eder. Omurga bir kez seçilir; stokastik katman günlük olarak uyarlanır.

CEV vs SABR Smile

β (ortak)0.50

ν (SABR)0.40

ρ (SABR)-0.30

CEV (düz çizgi) — yalnızca omurga (backbone), tek parametre

SABR (kesikli çizgi) — vol-of-vol eğriliği ekler

CEV eğimi doğru yakalar ancak eğrilik üretemez. SABR'ın ν (vol-of-vol) parametresi her iki kanadı yukarı kaldırarak U şeklini oluşturur. ν = 0 olarak ayarlandığında eğriler çakışır — SABR yeniden CEV'e indirgenir.

Yukarıdaki karşılaştırma bunu görselleştirir. Düz yeşil eğri tek başına CEV'dir -- monoton bir eğilim. Kesikli mavi eğri aynı β ile ancak sıfırdan farklı ν ile SABR'dır. SABR, CEV'in üretemediği eğriliği ekler.

Kaydırıcıda ν = 0 ayarlayın ve eğrilerin mükemmel şekilde üst üste bindiğini izleyin. Bu, ilişkiyi doğrular: sıfır vol-of-vol'lu SABR tam olarak CEV'dir. Omurga paylaşılır.

Kalibrasyon içgörüsü

SABR'ı kalibre ederken, β seçimi masum değildir. Gözlemlenen skew'in ne kadarının omurgaya (fiyata bağlı oynaklık) karşı stokastik katmana (ρ eğilimi) atfedileceğini belirler. Farklı β seçimleri farklı ρ uyumu, forward dinamiğini ve dolayısıyla hedge davranışını etkiler. CEV'yi tek başına anlamak, β öğesinin SABR içinde gerçekte ne yaptığını anlamanıza yardımcı olur.

Bölüm 5

Sınırlar ve kullanımlar

CEV, gerçek gülümsemeleri fitlemek için fazla basittir. Ancak fiyata bağlı oynaklığın nasıl çalıştığını anlamak için doğru zihinsel modeldir ve her SABR kalibrasyonunun içinde karşınıza çıkar.

CEV'nin yapamadıkları:

Eğrilik yok. Gerçek gülümsemelerde hem eğim hem eğrilik vardır -- put kanatları diktir, call kanatları yükseltilmiştir. CEV monoton bir eğim üretir ama U şekli üretmez. Gerçek bir kripto gülümsemesini yalnızca CEV ile fitlemeye çalışırsanız, kanatları tamamen kaçırırsınız.

Vade yapısı dinamikleri yok. CEV'de ortalamaya dönüş, oynaklık kümelenmesi, rejim değişimleri yoktur. Yerel oynaklık fonksiyonu statiktir. Kısa vadeli ve uzun vadeli gülümsemeler aynı şekle sahiptir; bu da gözlemlenen vade yapısı davranışıyla çelişir.

Sıfırda emilim. β < 1, için süreç sıfıra ulaşabilir ve orada emilebilir. Bu, fiyatlama açısından teknik bir baş ağrısıdır ve özel sınır koşulları gerektirir.

CEV neye yarar:

Kaldıraç etkisini öğretmek. Spot düştüğünde oynaklığın neden yükseldiğini açıklayan tek bir model istiyorsanız, CEV tam da odur. Tek parametre, tek mekanizma, temiz sezgi.

SABR omurga seçimi. SABR'ı kalibre ederken önce β seçersiniz. CEV'nin tek başına ne yaptığını anlamak, neyi backbone'a neyi stokastik katmana atfettiğinizi gösterir.

Hızlı skew yaklaşımları. CEV zımni oynaklık açılımı, β ile skew dikliği arasında analitik bir ilişki verir. Biri size bir skew değeri verirse, zımni β değerini kafadan çıkarabilirsiniz.

Normal ve lognormal tartışması. Faiz piyasalarında, normal (β = 0) ve lognormal (β = 1) kotasyon konvansiyonları arasındaki seçim canlı bir tartışmadır. CEV bunu ikili bir seçim yerine sürekli bir spektrum haline getirir.

Akılda tutulacak tek cümle

CEV şunu söyler: rastgele şokun büyüklüğü fiyat seviyesine bağlıdır ve β bunun nasıl olacağını kontrol eder. Geri kalan her şey -- skew, kaldıraç etkisi, SABR backbone -- bu tek fikirden türer.

Sonraki adımlar:

SABR Modeli -- CEV'yi omurgası olarak kullanan stokastik oynaklık uzantısı

SVI Parametrizasyonu -- üretim yüzeyleri için doğrudan gülümseme fiti

Heston Modeli -- ortalamaya dönen varyansa sahip farklı bir stokastik oynaklık yaklaşımı

İnterpolasyon Yöntemleri -- tüm yöntemler karşılaştırıldı