Sıfırdan Black-Scholes

1/7

Bölüm 1

Call opsiyonu nedir?

Bir call opsiyonu bir seçimdir: daha sonra sabit bir K fiyatından alabilir ya da vazgeçebilirsiniz. Bu tek ayrıntı, tüm getiri şeklini oluşturur.

Varlık kullanım fiyatının altında sona ererse opsiyonu görmezden gelirsiniz. Üzerinde sona ererse, daha ucuz sabit fiyattan alır ve farkı cebe atarsınız.

Vade sonundaki spot$115

Payoff = max($115 − $100, 0) = $15 — $100 fiyatından al, $115

Kaydırıcıyı sürükleyin. K'nin altında getiri sıfırdır — asla kullanmazsınız. K'nin üstünde getiri dolar dolar yükselir. K'deki o kırılma, opsiyonların var olmasının tek nedenidir.

Analoji

Bir konser biletine küçük bir rezervasyon ücreti ödediğinizi düşünün. İkinci el fiyatları patlarsa rezervasyonunuz değerlidir. Fiyatlar düşük kalırsa vazgeçersiniz. Opsiyon primi işte o rezervasyon ücretidir.

Bölüm 2

Beş girdi

Formülü yazmadan önce her sembolü sıradan hale getirin. Semboller gizemli kalırsa, tüm model gizemli kalır.

Aşağıdaki her kaydırıcıyı hareket ettirin ve call fiyatının nasıl tepki verdiğini izleyin. Her girdinin ittiği bir yön vardır. Formülü adlandırmadan önce bunu hissedin.

SSpot fiyat$100

Varlığın şu anki seviyesi.

KKullanım fiyatı$100

Daha sonra satın alabileceğiniz fiyat.

TVade sonuna kalan süre1.00 yr

Opsiyonun ne kadar süre geçerli kaldığı.

rRisksiz faiz oranı5.0%

Siz beklerken paranın kazandığı getiri.

σOynaklık20%

Gelecekteki fiyat aralığının ne kadar geniş hissettirdiği.

Call fiyatı

$11.91

Put: $7.03

d₁ = 0.3500 · d₂ = 0.1500

Tek cümlelik özet: Black-Scholes, değeri varlığın şu an nerede olduğuna (S), nereden alabileceğinize (K), ne kadar süreniz olduğuna (T), geleceğin ne kadar geniş olabileceğine (σ) ve beklemenin ne kadara mal olduğuna (r) bağlı olan bir hakkı fiyatlar.

Bölüm 3

İki büyük parça

Çoğu insan önce nihai formülle tanışır. Bu tersine bir yaklaşımdır. Önce hikâyeyi öğrenin, sonra sembolleri üstüne yerleştirin.

Aşağıdaki üç katmana tıklayarak ilerleyin. İngilizcenin matematiğe dönüşmesini izleyin.

Fikir

call fiyatı = varlık benzeri yükseliş potansiyeli − sonradan alma maliyeti

C = S · N(d₁) − K · e⁻ʳᵀ · N(d₂)

Anlamını görmek için formülün herhangi bir bölümünün üzerine gelin.

İlk parça, dayanak varlık benzeri ne kadar yukarı yönlü potansiyel elde ettiğinizdir. İkinci parça, bunun karşılığında borçlanacağınız tutarın bugüne iskonto edilmiş halidir. Fark, opsiyonun değeridir.

N(d₁) ve N(d₂), 0 ile 1 arasındaki ağırlıklardır. Normal dağılımdan gelirler. Bunları bir sonraki bölümde açacağız.

Bölüm 4

d₁ ve d₂ nedir?

Çoğu insanı korkutan kısım. Bunlar mistik değildir. Birer karnedir — opsiyon kurulumunun ne kadar elverişli olduğunu, bir ömürlük oynaklık birimiyle ölçerler.

N(d), çan eğrisinin altında d'nin soluna düşen alandır. Kaydırıcıyı sürükleyin ve gölgeli alanın — yani ağırlığın — nasıl değiştiğini izleyin.

d₁0.35

N(d₁)0.6701

N(d₂)0.5793

d₂ = d₁ − σ√T0.15

d₁'i parçalara ayırma:

d₁ payı

ln(S/K) + (r + σ²/2)T

ln(S/K) — kullanım fiyatının üstünde miyiz altında mıyız, log ölçeğinde?
(r + σ²/2)T — opsiyonun ömrü boyunca sürüklenme ve oynaklık düzeltmesi.

d₁ paydası

σ√T

Bir opsiyon ömrü kadar oynaklık. Her şeyi ölçtüğünüz cetvel budur. Pay, kurulumun ne kadar elverişli olduğunu söyler; payda ise bunu “dalgalanma” birimiyle ifade eder.

d₂

d₂ = d₁ − σ√T

Aynı karne, eksi bir tam ömürlük oynaklık. N(d₁), dayanak varlık benzeri parçayı ağırlıklandırır. N(d₂), kullanım ödemesi parçasını ağırlıklandırır.

Bölüm 5

Tam bir örnek çözün

Sayılar işi somutlaştırır. Dostane varsayılan değerlerle başlayın, sonra girdileri değiştirin ve her ara adımın güncellenmesini izleyin.

S

K

T

r

σ

ln(S/K) = ln(100/100) = 0.0000▸

Tam kullanım fiyatında — yerleşik bir moneyness avantajı yok.

(r + σ²/2)T = (0.05 + 0.0200) × 1 = 0.0700▸

Opsiyon ömrü boyunca drift + oynaklık düzeltmesi.

σ√T = 0.2 × 1.0000 = 0.2000▸

Bir ömür boyunca oynaklık — ölçüm çubuğu.

d₁ = 0.0700 / 0.2000 = 0.3500▸

Kurulum lehte yönde 0.35 salınım.

d₂ = 0.3500 − 0.2000 = 0.1500▸

Aynı değer, bir ömür oynaklık çıkarılmış.

N(d₁) = 0.6701, N(d₂) = 0.5793

Normal dağılımdan elde edilen iki ağırlık.

C = 100 × 0.6701 − 100 × e^(-0.0500) × 0.5793▸

$67.01 kazanç eksi $55.10 iskonto edilmiş maliyet.

C = $11.91

Black-Scholes call fiyatı.

Bölüm 6

Neden bu fiyat, başka bir fiyat değil

Black-Scholes bir tahmin değildir. Belkemiği replikasyondur: bir opsiyonu dayanak varlık ve nakit kullanarak kopyalayabiliyorsanız, opsiyon ve kopya aynı maliyette olmalıdır.

Tek döneme sadeleştirin. Dayanak varlık 120 $'a ya da 80 $'a gider. K = 100 olan call, 20 $ ya da 0 $ öder. Bu getirileri tam olarak karşılayan, dayanak varlık ve nakitten oluşan bir portföy kurabilir miyiz?

Kopyalayan portföy

120Δ + B = 20Yükseliş durumundaki getiriyi eşleştirin

80Δ + B = 0Düşüş durumundaki getiriyi eşleştirin

Δ = 0.5, B = −40Yarım hisse, $40 borç alın

Cost = 0.5 × 100 − 40 = $10Opsiyon da $10 olmalı — aksi halde arbitraj vardır

Kopya 10 $'a mal olur. Opsiyon da 10 $'a mal olmalıdır — aksi takdirde biri ucuzu alır, pahalıyı satar ve risksiz kâr elde eder. Modelin hislerle değil, arbitrajla disipline edilmesinin.

Black-Scholes, bu kopyalama argümanının pürüzsüz, sürekli zamanlı versiyonudur — dayanak varlığın fiyatı sürekli değiştikçe sonsuz kez uygulanır.

Bölüm 7

Ezberden yazın

Kendinizi sınamak için her karta dokunun. Dördünü de doldurabiliyorsanız, formülü ezbere biliyorsunuz demektir.

Hızlı hatırlama kontrolü — cevapları görmek için dokunun:

Sırada nereye gidilir:

Zımni oynaklık — modeli fiyattan geriye doğru kullanmak

Greeks referansı — fiyatı riskten korunma duyarlılıklarına bağlamak

Put-call paritesi — ezbere öğrenilecek bir sonraki fiyatlama özdeşliği