Sıfırdan Statik Replikasyon

1/5

Bölüm 1

Her getiri, daha basit getirilerin toplamıdır

Bugüne kadar gördüğünüz her karmaşık getiri diyagramı, aslında daha basit parçalardan oluşan bir portföydür. Call'lar, put'lar, forward'lar. Gördüğünüz şekil, bunların tekil getiri çizgilerinin toplamıdır.

Bir butterfly üç call'dır. Bir straddle, bir call artı bir put'tur. Bir collar ise dayanak varlık artı bir put eksi bir call'dır. Bunların hiçbiri egzotik değildir. Hepsi yalnızca vanilla opsiyonların doğrusal kombinasyonlarıdır.

Aşağıdan bir getiri şekli seçin, ardından Ayrıştır düğmesine basarak yeşil eğriyi oluşturan bileşen parçaları görün. Kesikli çizgiler tekil bacaklardır. Toplamları düz yeşil çizgiyi verir.

Long 90C + Long 130C + Short 2x110C

Bu neden önemli

Herhangi bir getiri daha basit getirilerin toplamıysa, herhangi bir getiriyi fiyatlamak, parçaları fiyatlamaya indirgenir. Parçaları alıp satabiliyorsanız da, ısmarlama bir enstrümana ihtiyaç duymadan istediğiniz her şekli replike edebilirsiniz. Statik replikasyonun temel vaadi budur.

Bölüm 2

Yapı taşları olarak vanilla opsiyonlar

Bir call spread iki call'dan oluşur. Bir butterfly üç, bir iron condor dört. Doğru kullanım fiyatlarında yeterli sayıda call ve put ile her türlü parçalı doğrusal getiriyi yaklaşık olarak oluşturabilirsiniz.

Her vanilya opsiyon, birleşik getiriye bir “kink” katkısı yapar. K kullanım fiyatındaki bir alım opsiyonu getiriyi K'de yukarı doğru büker. K kullanım fiyatındaki bir satım opsiyonu ise onu K'nin altında yukarı doğru büker. Her kink, eğimi opsiyonun miktarı kadar değiştirir.

Aşağıda kendi portföyünüzü oluşturun. Farklı kullanım fiyatlarında call ve put ekleyin. Birleşik getirinin canlı olarak güncellenmesini izleyin. 90 ile 120 arasında düz, altında ve üstünde ise sıfır olan bir getiri oluşturmayı deneyin.

CallPutKAdet

CallPutKAdet

Temel ilke

Combined payoff = Σ q_i · payoff_i(S)

Her bacak, herhangi bir spot fiyatta miktarı çarpı kendi tekil getirisi kadar katkı sağlar. Birleşik şekil yalnızca toplamdır. Replikasyonu mümkün kılan bu doğrusallıktır.

Bölüm 3

Breeden-Litzenberger sonucu

Call fiyatlarının kullanım fiyatına göre ikinci türevi risk-nötr olasılık yoğunluğunu verir. Piyasa, her olası sonucun olasılığını size örtük olarak söylemektedir.

Breeden ve Litzenberger (1978), kullanım fiyatları boyunca call fiyatları ızgarasını alıp her noktadaki eğriliği hesapladığınızda, risk-nötr dağılımın yoğunluk fonksiyonunu elde ettiğinizi gösterdi. Modele gerek yok. Sadece fiyatlar ve aritmetik.

Breeden-Litzenberger

∂²C / ∂K² = e^−rT · f(K)

f(K), kullanım fiyatı K'deki risk-nötr olasılık yoğunluğudur. Call fiyat fonksiyonunun kullanım fiyatına göre ikinci türevi, iskonto faktörüyle ölçeklendiğinde, yoğunluğun TA KENDİSİDİR. Her kullanım fiyatındaki eğriliği görmek için aşağıdaki fiyat ızgarasının üzerine gelin.

Farklı kullanım fiyatlarında call fiyatları (S=100, r=5%)

K=60$40.75

K=64$36.80

K=68$32.86

K=72$28.94

K=76$25.06

K=80$21.29

K=84$17.70

K=88$14.42

K=92$11.61

K=96$9.53

K=100$8.50

K=104$6.24

K=108$4.00

K=112$2.56

K=116$1.62

K=120$1.01

K=124$0.63

K=128$0.38

K=132$0.23

K=136$0.14

K=140$0.08

Oynaklık (σ)30%

Zaman (T)0.25y

Yeşil eğri, çıkarılan yoğunluktur. Tepesi, piyasanın dayanak varlığın en olası hangi seviyede uzlaşacağını düşündüğünü gösterir. Genişliği, piyasanın ne kadar belirsiz olduğunu gösterir. Oynaklığı artırın ve yoğunluğun düzleşip yayıldığını izleyin.

Bu bir tahmin veya model çıktısı değildir. Piyasa fiyatlarından doğrudan, modelden bağımsız bir çıkarımdır. Tek varsayım, call fiyatlarının kullanım fiyatına göre iki kez türevlenebilir olmasıdır; bu da arbitrajsız her piyasada sağlanır.

Bölüm 4

Bir binary'nin replikasyonu

Bir binary call, kullanım fiyatının üzerinde $1, altında $0 öder. Bunu şununla yaklaşık olarak oluşturabilirsiniz: dar bir call spread: K'deki alım opsiyonunu alın, K+'daki alım opsiyonunu satınε ve 1/ ile ölçekleyinε. Spread genişliği sıfıra gittikçe, rampa bir basamağa dönüşür.

Bu, vanilla'lar ile binary'ler arasındaki temel bağlantıdır. Binary, spread genişliği sıfıra giderken call spread'in limitidir. Eşdeğer olarak, binary, call fiyatının kullanım fiyatına göre türevinin negatifidir: D(K) = −∂C/∂K.

Spread'i daraltmak için kaydırıcıyı sürükleyin. Mavi rampanın yeşil basamak fonksiyonuna yakınsadığını izleyin.

İkili opsiyon (hedef)Call spread (1/ε) × [C(K) - C(K+ε)]

Spread genişliği (ε)10.0

Geniş spread. Rampa, ikili opsiyonun zayıf bir yaklaşımıdır.Maks. hata: 100.0% (nominal değer üzerinden)

Call spread'den binary'ye

D(K) = lim_ε→0 (1/ε) · [C(K) − C(K+ε)]

Alım spread'inin getirisi, 1/ yüksekliğinde bir rampadırε genişliği boyunca ε. ε küçüldükçe, rampa bir basamak fonksiyonuna doğru dikleşir. Limitte, tam olarak binary'dir. Piyasa yapıcıların binary'leri dar vanilya spread'leriyle hedge etmesinin nedeni budur — sınırlı delta, Dirac sivri ucu yok.

Bölüm 5

Keyfi getirilerin replikasyonu

Carr ve Madan (1998), herhangi bir iki kez türevlenebilir Avrupa tipi getirinin üç parçaya ayrıştırılabileceğini kanıtladı: bir forward pozisyonu, forward'ın altında bir zararda (OTM) put şeridi ve forward'ın üstünde bir OTM call şeridi.

Bu, Carr-Madan formülüdür. Formül, hedef getirinizin eğriliğinin — yani ikinci türev f″(K) değerinin — her bir OTM opsiyondan ne kadar gerektiğini belirlediğini söyler. Getirinin doğrusal kısmı forward ile yakalanır. Eğrilik ise opsiyon şeritleriyle yakalanır.

Aşağıdan bir getiri seçin, ardından Carr-Madan ayrıştırmasını göster düğmesine basarak üç parçayı görün. Sarı çizgi forward bileşenidir. Kırmızı bölge OTM put şerididir. Mavi bölge OTM call şerididir. Birlikte yeşil hedefin toplamını verirler.

F'deki (forward fiyatı) ayrım çizgisine dikkat edin. F'nin altında yalnızca put'lar katkı sağlar. F'nin üstünde yalnızca call'lar. Bu keyfi değildir — aynı bilgi içeriği için OTM opsiyonlar karda (ITM) opsiyonlardan daha ucuz olduğundan, OTM opsiyon kullanmak replikasyon maliyetini en aza indirir.

Pratik çıkarım

Carr-Madan ayrıştırması; varyans swap'larının, VIX hesaplamasının ve portföy replikasyon stratejilerinin teorik temelidir. VIX formülü, kelimenin tam anlamıyla bu integralin ayrık bir yaklaşımıdır. Ne zaman bir “opsiyon şeridi” görseniz, arkasındaki matematik budur.

Bundan sonra nereye:

Binary Opsiyonlar — replikasyon merdivenlerinin yapı taşı

Delta Hedge — statik replikasyona dinamik alternatif

Zımni Oynaklık — piyasa beklentilerinin fiyatlardan çıkarılması