Sıfırdan Bates
1/5Heston + sıçramalar = Bates
Heston uzun vadeli smile'ı açıklar: stokastik varyans, yumuşak skew ve vade yapısı yaratır. Merton kısa vadeli smile'ı açıklar: fiyat sürecindeki sıçramalar kısa vadelerde dik kanatlar oluşturur. Bates ikisini tek modelde birleştirir.
Temel sorun basit. Heston sürekli hareket eder -- spot fiyat asla ışınlanmaz. Bu da Heston'ın tek başına, 1 haftalık 25-delta satım opsiyonunun %80 oynaklıkla işlem görürken 1 yıllık versiyonunun %55'te olmasını neden açıklayamadığını gösterir. Kısa vadeli kanat dikliği, sürekli difüzyonun sağlayamayacağı bir şeyi gerektirir: anlık boşluklar (gap).
Merton (1976), geometrik Brown hareketine bir Poisson sıçrama süreci ekleyerek boşluk sorununu çözdü. Ancak Merton'da stokastik varyans yoktur, bu yüzden vade yapısı dinamiklerini yeniden üretemez. Tek bir vadeyi iyi fiyatlar, ardından eğri boyunca dağılır.
Bates (1996) ikisini birbirine yapıştırdı. Sonuç, hem gerçekçi dinamiklere hem de pratikte hesaplanabilir fiyatlamaya ihtiyaç duyan egzotik masalar için iş atı model oldu.
İkinci satır: varyans, Heston ile aynı CIR sürecini izler. Burada hiçbir şey değişmez.
Üçüncü satır: aynı korelasyon yapısı. ρhâlâ düzgün skew'i yönlendirir.
Engebeli bir yolda giden bir araba düşünün (Heston: yol yüzeyinin kalitesi stokastik olarak değişir). Şimdi rastgele beliren çukurlar ekleyin (Merton sıçramaları: araba aniden düşer). Tümsekler için süspansiyona, çukurlar için hava yastığına ihtiyacınız var. Bates ikisini de sunar.
Kilit matematiksel içgörü: sıçrama bileşeni varyans sürecinden bağımsız olduğu için Bates'in karakteristik fonksiyonu, Heston karakteristik fonksiyonunun Merton sıçrama çarpanıyla çarpımından ibarettir. Bu da fiyatlamanın yarı analitik kalması demektir -- Fourier tersinimi hâlâ çalışır. Vanilya opsiyonlar için Monte Carlo gerekmez.
Ek parametreler ne yapar
Bates, Heston'ın beş parametresini (κ, θ,σ, ρ, v₀) devralır ve üç sıçrama parametresi ekler:λ (sıçrama sıklığı), μⱼ (ortalama sıçrama büyüklüğü) ve σⱼ (sıçrama oynaklığı). Toplam sekiz ayar düğmesi.
λ (lambda) -- sıçrama yoğunluğu. Yıl başına beklenen sıçrama sayısı. λ = 0 saf Heston'ı geri kazandırır. λ = 2 ortalama olarak yılda kabaca iki sıçrama anlamına gelir. Daha yüksek λ kanatları daha da yukarı kaldırır çünkü piyasa opsiyonlara daha fazla gap olayını fiyatlar.
μⱼ (mu-J) -- ortalama sıçrama büyüklüğü. Bir sıçramanın ortalama log-getirisi. Negatif μⱼ sıçramaların aşağı yönlü eğilimli olduğu anlamına gelir (çöküş sıçramaları). Bu asimetri yaratır: put kanadı call kanadından daha fazla dikleşir. Kriptoda,μⱼ tipik olarak −0.05 and−0.15 arasındadır ve likidasyon zincirlemelerini ve flash crash'leri yansıtır.
σⱼ (sigma-J) -- sıçrama oynaklığı. Sıçrama boyutlarının standart sapması. Ortalama sıçrama sıfır olsa bile, sıfırdan farklı σⱼ simetrik bir kanat yükselmesi yaratır. Bu, rastgele boyutlu sıçramalardan kaynaklanan saf aşırı basıklıktır. Daha büyükσⱼ daha kalın kuyruklar anlamına gelir.
Yukarıdan sıçramaları açıp kapatın. Sıçramalar kapalı olduğunda, saf Heston'u görürsünüz (kesikli mavi). Onları açtığınızda kanatlar yükselir -- özellikle sol kanat, çünkü μⱼ < 0 sıçramaları aşağı yönlü eğer. λ değerini 3 veya 4'e çıkarın ve etki çarpıcı olur. μⱼ = 0 ayarlayın ve yükselmenin simetrik hale geldiğine dikkat edin.
Can alıcı içgörü: ρ (Heston) ve μⱼ(sıçramalar) ikisi de skew yaratır, ancak tamamen farklı mekanizmalarla.ρ skew'i, zamanla kademeli olarak oluşan spot-vol korelasyonu aracılığıyla yaratır. μⱼ skew'i, anında ortaya çıkan yönlü sıçramalar aracılığıyla yaratır. Bates'in kısa vadeye ve uzun vadeye aynı anda uyum sağlayabilmesinin nedeni budur.
Vade yapısı ayrıştırması
Kısa vadeli smile çoğunlukla sıçramalardan, uzun vadeli smile çoğunlukla stokastik oynaklıktan gelir. Bu ayrışma, Bates'in var olma nedenidir -- hiçbir bileşen tek başına tüm vade yapısına uymaz.
Mekanizma varyans ölçeklemesidir. Difüzif varyans T ile orantılı olarak birikir: bir yıl boyunca, difüzif bileşenin oluşmak için zamanı olur. Sıçrama varyansı da T ile ölçeklenir (λ · T beklenen sıçrama), ancak her bir sıçrama, vadeden bağımsız olarak aynı boyuttadır.
T = 7 günde, difüzif varyansın birikmesi için neredeyse hiç zamanınız olmaz, ancak tek bir sıçrama sizi hâlâ tam boyutuyla vurabilir. Bir haftada −%10'luk bir çöküş, bir yıldaki−%10'luk bir çöküşle aynı getiri etkisine sahiptir -- ancak çöküş, 7 gündeki toplam beklenen hareketin, 365 gündekine kıyasla çok daha büyük bir kısmını temsil eder.
T = 1 yılda stokastik oynaklık, varyans patikalarının tüm dağılımını keşfetmeye zaman bulmuştur. Ortalamaya dönüş, oynaklık kümelenmesi ve spot-oynaklık korelasyonunun hepsi devreye girer. Sıçrama bileşeni hâlâ oradadır, ancak toplam varyansın daha küçük bir kısmını oluşturur.
Yukarıdaki dört grafiğe bakın. T = 7g'de, kırmızı bölge (sıçrama katkısı) kanatlara hâkimdir. T = 1y'de ise ince bir dilimdir. λ değerini artırın ve geçiş noktasının kaydığını izleyin -- daha sık sıçramalar, sıçrama katkısını eğri boyunca daha dışarı iter.
Bu ayrıştırmanın doğrudan işlem sonuçları vardır. Sıçrama riskinin yanlış fiyatlandığını düşünüyorsanız kısa vadede işlem yaparsınız. Varyans dinamiklerinin yanlış fiyatlandığını düşünüyorsanız uzun vadede işlem yaparsınız. Bates bu bahisleri ayırmanız için bir çerçeve sunar.
Bates'in kalibrasyonu
Sekiz parametre epey fazladır. Farklı kombinasyonlar benzer smile'lar üretebilir ve optimize edici kararsız bölgelere savrulabilir. Pratik kalibrasyon disiplin gerektirir.
Standart yaklaşım iki aşamalı bir stratejidir:
Aşama 1: gözlemleyebildiklerinizi sabitleyin. v₀ mevcut ATM zımni varyanstan sabitlenir. Sürüklenme oranı r bilinir. Bu, yedi serbest parametre bırakır.
Aşama 2: gruplar halinde kalibre edin. Önce κ, θ, σ, ρ parametresini uzun vadeli gülümsemeye (sıçramaların az katkı sağladığı yere) uydurun. Ardındanλ, μⱼ, σⱼ parametresini kısa vadeli artıklara uydurun. İyileştirmek için birkaç kez yineleyin.
Bu yaklaşım işe yarar çünkü iki parametre grubu yüzeyin farklı bölgelerini kontrol eder. Heston parametreleri arka ucu, sıçrama parametreleri ön ucu şekillendirir. Bunları sıralı olarak fit etmek, her optimizasyon adımının boyutunu azaltır.
Aşırı uyum (overfitting) tuzağı. Daha fazla parametre örneklem içi uyumu her zaman iyileştirir. Ancak sekizinin de serbestçe dalgalanmasına izin verirseniz, gürültüye uyum sağlama riskiyle karşılaşırsınız. Belirgin işaret: benzer gülümsemeler üretirken günden güne çarpıcı biçimde değişen parametreler. Eğer λ ardışık kalibrasyonlar boyunca 0.5 ile 3.0 arasında salınıyorsa, uyumunuz kararsızdır.
Yukarıdaki grafik gerçekçi bir karşılaştırma gösteriyor. Heston (turuncu, 5 parametre) ATM bölgesine iyi uyar ama derin zararda (OTM) satım opsiyonlarını sistematik olarak ıskalar. Bates (yeşil, 8 parametre) kanatları tutturur çünkü sıçrama bileşeni, Heston'ın ulaşamadığı dik kısa vadeli skew'u yakalar.
Ana grafiğin altındaki artık (residual) grafiğine bakın. Heston artıkları kanatlarda büyük ve sistematiktir -- model yalnızca gürültülü değil, yanlıdır. Bates artıkları daha küçük ve daha rastgeledir. Bu, salt aşırı uyum değil, gerçek bir iyileşmenin imzasıdır.
Pratik kural: 3 parametre eklemek SSE'yi %50'den fazla azaltıyorsa, ek karmaşıklık kendini amorti ediyor demektir. Azalma yalnızca %10-20 ise, Heston'da kalıp kanat hatasını kabullenmek daha iyi olabilir.
Kriptonun iş atı
Kripto piyasaları hem stokastik oynaklık hem de sık sıçramalar gösterdiği için Bates, kripto egzotik masalarının standart modelidir. Likidasyon kaskatları, depeg'ler ve borsa kesintileri, Heston'ın tek başına fiyatlayamayacağı gerçek bir boşluk (gap) riski yaratır.
Kripto oynaklık yüzeylerinin Bates'in iyi ele aldığı ayırt edici özellikleri vardır:
Kalıcı oynaklık rejimleri. BTC haftalarca %30 IV'de kalabilir, ardından tek bir likidasyon zinciriyle %80'e sıçrayabilir. Düşükκ (yavaş ortalamaya dönüş) ile yüksek v₀birleşimi, şok sonrası ortamı yakalar. Bu, Heston bileşeninin işini yapmasıdır.
Sık boşluk (gap) hareketleri. Gün içi %10'luk bir çöküş hisse senetlerinde nadirdir ancak kriptoda yılda birkaç kez olur. Bunlar gerçek sıçramalardır, yalnızca büyük difüzif hareketler değil. Bunlar, hiçbir miktardaσ (vol-of-vol) ile eşleşemeyecek kadar dik kısa vadeli put kanatları olarak ortaya çıkar. Sıçrama bileşeni bununla ilgilenir.
Her iki yön. Sıçramaların neredeyse her zaman aşağı yönlü olduğu hisse senedi piyasalarının aksine, kriptoda önemli bir yukarı yönlü boşluk riski de vardır (short squeeze'ler, sürpriz ETF onayları, borsa listelemeleri). μⱼ değerini sıfıra yakın (hatta bazı coinler için hafif pozitif) ayarlamak, modelin simetrik boşluk riskini yakalamasını sağlar.
Yukarıdaki varyans ayrıştırması, toplam ATM varyansının difüzif ve sıçrama bileşenleri arasında nasıl bölündüğünü gösteriyor. Tipik kripto parametreleri için sıçramalar toplam varyansın %20-40'ını oluşturabilir. Bu bir düzeltme terimi değildir -- birinci dereceden bir etkidir.
Bates'in ötesi: SLV. Bates gözlemlenen yüzeye Heston'dan daha iyi uyum sağlar, ancak yine de her kullanım fiyatı ve vadeye tam olarak uyum sağlayamaz. Üretim düzeyinde egzotik fiyatlama için, çoğu masa üzerine bir yerel oynaklık katmanı ekleyerek stokastik-yerel-oynaklık (SLV) modeli oluşturur. Bates dinamik motorunu sağlar; yerel oynaklık ise tam kalibrasyonu sağlar. Ayrıntılar için SLV referansına bakın.
Bates ne zaman fazla kaçar: yalnızca tek bir vade için tek bir gülümsemeyi interpolasyonla bulmanız gerekiyorsa, SVI kullanın. Dinamik olmadan tam bir yüzeye ihtiyacınız varsa, SSVI daha hızlı ve daha kararlıdır. Bates, dayanak dinamiklerine ihtiyaç duyduğunuzda karmaşıklığını hak eder -- egzotik fiyatlama, yola bağlı ürünlerin hedge edilmesi veya gülümsemenin ekonomik bileşenlerine ayrıştırılması için.
Black-Scholes: smile yok. Tek oynaklık hiçbir şeye uymaz.
Heston: yumuşak smile dinamikleri. Uzun ucu ele alır.
Bates: yumuşak + sıçramalı. Her iki ucu da ele alır.
SLV: kesin kalibrasyon + dinamikler. Üretim standardı.
Her adım karmaşıklık ve kalibrasyon maliyeti ekler. Sanat, kendi kullanım durumunuzda ekstra mekanizmanın ek yüke ne zaman değdiğini bilmektir.
Buradan nereye:
Sıfırdan Heston -- beş Heston parametresine derinlemesine bakış
SVI Parametrizasyonu -- kripto oynaklık yüzeyleri için smile fit etme standardı
SSVI -- arbitrajsız tam yüzey parametrizasyonu
İnterpolasyon Yöntemleri -- tüm yöntemlerin karşılaştırması