Sıfırdan Bachelier

1/5

Bölüm 1

Yüzdeler değil, dolarlar

Black-Scholes "%10'luk bir hareket" der. Bachelier "$10'lık bir hareket" der. En eski iki opsiyon fiyatlama modeli arasındaki tüm felsefi ayrım budur.

Louis Bachelier modelini 1900'de yayımladı -- Black ve Scholes'tan 73 yıl önce. Fikri son derece basitti: fiyat değişimleri toplamsaldır ve normal dağılıma sahiptir. Model tek bir denklemdir:

Bachelier dinamikleri

dS = σ_n · dW

σ_n normal oynaklıktır, kök yıl başına dolar (veya baz puan) cinsinden ölçülür -- yüzde olarak değil. dW standart bir Brownian artıştır.

Normal oynaklık $20 ise, model fiyatın bir yılda yaklaşık $20 hareket edebileceğini öngörür. Fiyat ister $40'tan ister $400'den başlasın, dalgalanma dolar cinsinden aynı büyüklüktedir. "Toplamsal" bunun anlamıdır -- gürültü fiyat seviyesiyle ölçeklenmez.

Bunu, gürültünün çarpımsal olduğu Black-Scholes ile karşılaştırın: dS = S·σ·dW. Aynı %30 oynaklık, 100 dolarlık bir hissede 30 dolarlık bir hareket üretirken 500 dolarlık bir hissede 150 dolarlık bir hareket üretir. Cetvel esner.

Cetvel metaforu: sabit aralıklar vs esneyen aralıklar

Fiyat seviyesi$100

Bachelier: $10 her yerde $10'dırBS: %10 fiyatla birlikte esner

Fiyat kaydırıcısını sürükleyin. Bachelier cetveli çizgi aralıklarını sabit dolar aralıklarında tutar. BS cetveli ise uzayıp kısalır çünkü her çizgi, güncel fiyatın sabit bir yüzdesidir.

Bu neden önemli

Toplamsal model negatif fiyatlar üretebilir. Hisse senedi opsiyonları fiyatlıyorsanız bu bir hatadır. Ancak faiz oranları (EUR, JPY, CHF'de negatife düştü) ve spreadler (doğaları gereği işaretli) için bu bir avantajdır. Bachelier zamanının 73 yıl ilerisindeydi -- "kusuru" faiz opsiyonları için sektör standardı hâline geldi.

Bölüm 2

Formül düşündüğünüzden daha basit

Bachelier alım opsiyonu fiyatının Black-Scholes'a göre daha az hareketli parçası vardır. Logaritma yok. İskonto faktörü karmaşası yok. Sadece bir çıkarma, bir oran ve iki normal dağılım sorgusu.

Bachelier alım opsiyonu fiyatı

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n√T · φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Φ normal CDF'dir (bir değerin altında olma olasılığı). φ normal PDF'dir (çan eğrisinin yüksekliği). d spotun kullanım fiyatının kaç standart sapmalık hareket üzerinde olduğunu ölçer -- d₁ ile aynı kavram, ancak BS'de log terimleri yerine dolar cinsinden.

Formülü iki parçaya bölün, akılda tutması kolaydır:

Piece 1: (S − K)·Φ(d) -- içsel getiri, olasılıkla ağırlıklandırılmış. Alım opsiyonu karda biterse, S alırsınız − K. Φ(d) bunun gerçekleşme olasılığıdır.

Piece 2: σ_n√T·φ(d) -- zaman değeri tamponu. Spot kullanım fiyatına yakın olsa bile, belirsizlik opsiyona bir şans tanır. Daha fazla oynaklık veya daha fazla zaman bu terimi artırır.

Black-Scholes ile karşılaştırın: C = S·Φ(d₁) − K·e−rT·Φ(d₂). BS ln(S/K) kullanırken Bachelier S kullanır−K. O log tüm farkı oluşturur. ATM'ye yakın, aynı fikirdeler.

Bachelier ve Black-Scholes: Yan Yana

Bachelier (Normal)

C = (S − K)·Φ(d) + σ_n·√T·φ(d)

d = (S − K) / (σ_n·√T)

Black-Scholes (Lognormal)

C = S·Φ(d₁) − K·Φ(d₂)

d₁ = (ln(S/K) + ½σ²T) / (σ·√T)

Spot (S)

$100

Kullanım fiyatı (K)

$105

Süre (T, yıl)

0.25

Normal oynaklık (σ_n, $/yıl)

$20

Bachelier fiyatı

$2.16

d = -0.500

BS fiyatı (σ_BS ≈ σ_n/S)

$2.37

σ_BS = 20.0%

Difference: $0.21 (9.7%) -- away from ATM, they diverge

Kullanım fiyatını spottan uzaklaştırın ve iki fiyatın ayrışmasını izleyin. ATM yakınında neredeyse aynıdırlar, çünkü doğrusal ve logaritmik yaklaşımlar yerel olarak örtüşür. Derin OTM'de modeller uyuşmaz, çünkü Bachelier negatif fiyatlara izin verir, BS vermez.

Bölüm 3

Normal oynaklık vs BS oynaklığı

ATM yakınında iki model arasındaki dönüşüm basittir: σ_n ≈ S · σ_BS. Düz bir normal gülümseme, çarpık bir BS gülümsemesine karşılık gelir, çünkü aynı dolar hareketi her kullanım fiyatında farklı bir yüzdeye denk gelir.

Spot $100 ve BS oynaklığı %30 ise, normal oynaklık kabaca $30'dır. Spot $50'ye düşerse, aynı $30'lık normal oynaklık BS cinsinden %60 olur. Bachelier dünyasında hiçbir şey değişmedi -- ama BS oynaklığı ikiye katlandı.

Tamamen düz bir Bachelier gülümsemesinin (tüm kullanım fiyatları için tek bir normal oynaklık) çarpık bir BS gülümsemesi üretmesinin nedeni budur. Düşük kullanım fiyatlarında aynı dolar hareketi daha büyük bir yüzdeyi temsil eder. Yüksek kullanım fiyatlarında ise daha küçük bir yüzdeyi. BS zımni oynaklık eğrisi soldan sağa aşağı doğru eğilir.

ATM yakını dönüşüm

σ_n ≈ S · σ_BS

σ_BS ≈ σ_n / S

Bu yaklaşım ATM yakınında hassastır ama derin OTM kullanım fiyatlarında bozulur. Dönüşüm sonrası görünen skew'u yaratan şey tam da bu bozulmadır.

Aşağıdaki interaktif araç, aynı piyasanın iki görünümünü gösterir. Bachelier tek bir oynaklık der. BS bir eğri der. Hiçbiri yanlış değildir -- aynı opsiyon fiyatları kümesi için farklı koordinat sistemleridir.

Sahte skew: aynı fiyatlar, iki koordinat sistemi

Bachelier görünümü düz

BS görünümü çarpık

Spot fiyat$100

Normal oynaklık$20

Soldaki grafik hiçbir zaman şekil değiştirmez. Her zaman düz bir çizgidir — Bachelier tüm kullanım fiyatları için tek bir oynaklık öngörür. Sağdaki grafik, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes matematiğinden zorla geçirilmiş halini gösterir. Spot fiyat kaydırıcısını sürükleyin ve BS skew'inin dikleşmesini veya düzleşmesini izleyin. Piyasa değişmedi. Yalnızca koordinat sistemi değişti.

Bölüm 4

Bachelier ne zaman doğru modeldir

Bachelier; faiz opsiyonları, spread opsiyonları ve dayanak varlığın negatife düşebildiği her ürün için sektör standardıdır. Kripto spot için doğru varsayılan değildir -- ama baz ve fonlama oranı ürünleri için mükemmeldir.

Faiz oranları: ECB 2014'te faizleri negatife çektiğinde Black-Scholes çöktü. Negatif bir sayının logaritması alınamaz. Dünya genelindeki faiz masaları bir gecede lognormal kotasyondan normal kotasyona geçti. Swaption oynaklığı artık lognormal oynaklığın yüzdesi olarak değil, normal oynaklığın baz puanı cinsinden kote ediliyor.

Spreadler: İki fiyat arasındaki fark doğası gereği toplamsaldır. Bir takvim spread'i, bir baz işlemi veya bir çapraz kur spread'i pozitif veya negatif olabilir. Bachelier bunu hilelere başvurmadan çözer.

Fonlama ürünleri: Kripto fonlama oranları sıfır etrafında dalgalanır ve negatife düşebilir. Fonlama oranları üzerine opsiyon fiyatlıyorsanız, Bachelier doğal dildir.

Kripto spot: Fiyatlar pozitiftir ve kaldıraç etkileri gösterir (fiyat düştüğünde oynaklık yükselir). Burada lognormal çerçeve daha doğaldır. Spot için BS, faizler ve spreadler için Bachelier kullanın.

Toplamsal (Bachelier) vs Çarpımsal (BS) Yollar

Bachelier: dS = σ_n·dW

BS: dS = S·σ·dW

Yollar: 0Sıfırın altına inen: 0

Bachelier (toplamsal gürültü, negatife düşebilir)BS (çarpımsal gürültü, pozitif kalır)

Sol panel Bachelier patikalarını gösterir: toplamsal gürültü, simetrik ve bazıları sıfırı geçer. Sağ panel BS patikalarını gösterir: çarpımsal gürültü, her zaman pozitif ve dağılımın uzun bir sağ kuyruğu var. Patika ekleyin ve kaç Bachelier patikasının negatife düştüğünü izleyin -- faizler için aslında bir avantaj olan "hata" işte budur.

Bölüm 5

Sahte skew problemi

Bir Bachelier piyasasını Black-Scholes cinsinden kote ederseniz, aslında var olmayan bir skew görürsünüz. Bu "skew" yalnızca bir koordinat dönüşümüdür. Bu sayfanın en önemli dersi budur.

Opsiyonları düz bir normal oynaklıkla fiyatlayan bir piyasa yapıcı düşünün. Her kullanım fiyatı $20 normal oynaklık alır. Skew yok. Gülümseme yok. Tek bir sayı.

Şimdi bir trader, bu fiyatları standart bir IV çözücüsüyle BS zımni oynaklığına dönüştürüyor. Düşük kullanım fiyatlı opsiyonlar daha yüksek BS oynaklığı gösterir. Yüksek kullanım fiyatlı opsiyonlar daha düşük BS oynaklığı gösterir. Trader put skew'u görür ve piyasanın çöküş riskini fiyatladığını düşünür.

Ama bu piyasada çöküş riski yoktur. Skew, normal bir dünyayı lognormal bir mercekten geçirmeye zorlamanın yarattığı bir yapaylıktır. $80'lık bir dayanak varlıkta $20'lık hareket BS cinsinden %25'tir. $120'lık bir dayanak varlıkta aynı $20'lık hareket yalnızca %16,7'dir. Farklı yüzdeler, aynı dolar hareketi.

Sahte skew: aynı fiyatlar, iki koordinat sistemi

Bachelier görünümü düz

BS görünümü çarpık

Spot fiyat$100

Normal oynaklık$20

Soldaki grafik hiçbir zaman şekil değiştirmez. Her zaman düz bir çizgidir — Bachelier tüm kullanım fiyatları için tek bir oynaklık öngörür. Sağdaki grafik, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes matematiğinden zorla geçirilmiş halini gösterir. Spot fiyat kaydırıcısını sürükleyin ve BS skew'inin dikleşmesini veya düzleşmesini izleyin. Piyasa değişmedi. Yalnızca koordinat sistemi değişti.

Bu pratikte önemlidir, çünkü:

Skew'u yanlış teşhis edebilirsiniz. Bir faiz masası normal oynaklıkla kotasyon veriyorsa ve siz bunu BS'ye dönüştürürseniz, %100 yapay bir skew görürsünüz. Bunu trade etmeyin.

SABR bağlantısı. SABR'ın beta parametresi, Bachelier'den BS'ye uzanan spektrumda nerede durduğunuzu kontrol eder. Beta = 0 tam Bachelier'dir (normal). Beta = 1 tam BS'dir (lognormal). Beta = 0'da BS cinsinden gördüğünüz "skew"un çoğu aynı koordinat yapaylığıdır.

Altın kural: Bir skew'u trade etmeden önce, bunun bir piyasa özelliği mi yoksa bir model özelliği mi olduğunu sorun. Bir koordinat sisteminde düz olan, başka birinde çarpık görünebilir.

Sıradaki adımlar:

Black-Scholes -- lognormal karşılığı

SABR Modeli -- normal-lognormal spektrumu seçmek için beta kullanır

CEV Modeli -- normal ile lognormal arasında beta parametresiyle köprü kurar

Skew -- model yapaylıklarını piyasa özelliklerinden ayırma