Bachelier (Normal) Modeli

Bachelier (1900), ilk opsiyon fiyatlama modeliydi -- Black-Scholes modelinden 73 yıl önce geldi. Fiyat değişimleri toplamsaldır ve normal dağılıma sahiptir. Bachelier, yüzdesel getirileri (lognormal) modellemek yerine dolar cinsinden değişimleri (normal) modeller. Fiyat negatife düşebilir -- bu, hisse senetleri için bir hata, faiz oranları için ise bir özelliktir.

Modelin tam olarak tek bir parametresi vardır: mutlak birimlerle ölçülen normal vol (örneğin, %30/yıl yerine $50/yıl). Smile yoktur. Dünya Bachelier olsaydı, tüm kullanım fiyatlarındaki her opsiyon aynı normal vola sahip olurdu. Bu düz smile, modelin temel öngörüsüdür.

💡

Skew bir model artefaktı olabilir

Bachelier, yapısı gereği düz bir smile üretir. Bu fiyatları Black-Scholes zımni oynaklığa dönüştürürseniz bir skew elde edersiniz. Bu skew piyasada yoktur -- normal olabilecek bir dünyaya lognormal matematiği zorlamanın bir sonucudur.

Modeli Keşfedin

Düz mavi kesikli çizgi Bachelier bakış açısıdır: tüm kullanım fiyatları için tek bir vol. Yeşil eğri, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes terimleriyle yeniden ifade edilmiş halini gösterir. Spot fiyatı düşürün ve görünürdeki BS skew eğiminin dikleşmesini izleyin -- Bachelier dünyasında hiçbir şey değişmediği halde.

Bachelier vs Black-Scholes Keşif Aracı

Tipik kurulum. Bachelier gülümsemesi tanım gereği düzdür. Aynı fiyatlar BS cinsinden yeniden ifade edildiğinde skew oluşur.

Normal oynaklık20

$/yıl cinsinden mutlak oynaklık (yüzde değil)

Spot fiyat (S)100

Daha düşük spot = daha belirgin BS skew

Düz mavi kesikli çizgi Bachelier'in bakışıdır: tüm kullanım fiyatları için tek bir oynaklık. Yeşil eğri, aynı opsiyon fiyatlarının Black-Scholes cinsinden yeniden ifade edilmiş hâlidir. "Skew" bir modelleme yapaylığıdır, piyasa özelliği değildir.

Her parametre ne yapar

• Normal vol: Tek parametre. Yıllık mutlak fiyat birimleriyle ölçülür (yüzde değil). 20 normal vol, fiyatın bir yıl içinde $20 hareket etmesinin beklendiği anlamına gelir (bir standart sapma). Tüm kullanım fiyatları bu aynı volu alır -- smile düzdür.
• Spot fiyat: Bachelier smile eğrisini değiştirmez (hâlâ düzdür). Ancak BS eşdeğeri smile eğrisini dramatik biçimde etkiler. Daha düşük spot fiyatlarda, aynı dolar cinsinden hareket daha büyük bir yüzdesel harekete karşılık gelir; bu nedenle BS zımni oynaklığı yükselir -- görünürde bir put skew oluşturur.

BS skew görünümü neden ortaya çıkar

Ne olur

Bachelier görüşü

BS görüşü

ATM opsiyon fiyatlaması

Normal vol doğrudan uygulanır

Lognormal vol yaklaşık olarak normal_vol / spot

OTM put (düşük kullanım fiyatı)

ATM ile aynı vol

Daha yüksek IV çünkü aynı $ hareket = düşük fiyatta daha büyük % hareket

OTM call (yüksek kullanım fiyatı)

ATM ile aynı vol

Daha düşük IV çünkü aynı $ hareket = yüksek fiyatta daha küçük % hareket

Spot fiyatı düşürün

Smile düz kalır

Tüm eğri yukarı kayar, put kanadı dikleşir

ℹ️

SABR modelinde beta omurgayı belirler

SABR omurgası (vol-of-vol kapalıyken oluşan smile) beta değerine bağlıdır. Beta = 0: Bachelier. Beta = 1: Black-Scholes. Beta, normal-lognormal spektrumunda nerede duracağınızı seçer.

Bachelier Nerede Kullanılır

Piyasa

Neden Bachelier

Normal vol birimi

Faiz oranı swaptionları

EUR, JPY ve CHF faizleri negatife düştü. BS sıfırda bozulur. Bachelier bozulmaz.

bps/yıl (örn. 50 bps)

Spread opsiyonları

Spreadler negatif olabilir. Toplamsal model doğaldır.

$/yıl veya bps/yıl

CDS opsiyonları

Kredi spreadleri doğal olarak toplamsal hareketlerle modellenir.

bps/yıl

Kripto (niş)

Dayanak varlığın negatife düşebildiği fonlama oranı opsiyonları veya baz opsiyonları.

%/yıl (mutlak)

⚠️

Kripto spot opsiyonları için uygun değildir

Kripto spot fiyatları pozitiftir ve kaldıraç etkileri gösterir (fiyat düştüğünde vol yükselir). Burada lognormal çerçeve (Black-Scholes ailesi) daha doğaldır. Bachelier; faizler, spreadler ve negatife düşebilen her şey için doğru araçtır.

Bir Bakışta Bachelier vs. Black-Scholes

Bachelier

Black-Scholes

Fiyat dinamikleri

Toplamsal (normal)

Çarpımsal (lognormal)

Vol birimi

$/yıl (mutlak)

%/yıl (göreli)

Negatif fiyatlar?

Evet (tasarım gereği)

Hayır (negatif sayının logaritması tanımsızdır)

Smile şekli

Tanım gereği düz

Yalnızca dünya gerçekten lognormal ise düz

Parametreler

1 (normal vol)

1 (lognormal vol)

Dönüşüm

σ_n ≈ σ_BS × S (ATM yakınında)

σ_BS ≈ σ_n / S (ATM yakınında)

Kullanım alanı

Faizler, spreadler, CDS

Hisse senetleri, FX, kripto spot

Dönüşüm formülü

ATM yakınında iki model arasında dönüşüm yapabilirsiniz:

$$\sigma_{\text{normal}} \approx \sigma_{\text{BS}} \times S$$

$100 fiyatlı ve$30 normal volu vardır. Ancak bu yaklaşıklık ATM seviyesinden uzaklaştıkça bozulur; Bachelier fiyatlarını dönüştürdüğünüzde BS smile görünümünün ortaya çıkmasının nedeni tam olarak budur.

💡

Tanım gereği düz smile

Bachelier, fiyat değişimlerini toplamsal olarak ele alır. Smile eğrisi tanım gereği düzdür. BS terimlerine dönüştürüldükten sonra ortaya çıkan skew, bir piyasa özelliği değil, model seçiminin bir artefaktıdır.

Denklem Keşif Aracı

Denklem Gezgini

Spot (S)

$

Kullanım Fiyatı (K)

$

Vadeye Kalan Gün

gün

Risksiz Faiz Oranı

%

Zımni Oynaklık (σ)

%

Call Fiyatı

$8300

Put Fiyatı

$7890

Call Δ

0.555

d₁

0.102

Vega

$114

---

Devam etmeden önce anlayışını test et.

Q: Bachelier neden düz bir smile üretirken Black-Scholes üretmez?

Q: Bachelier opsiyon fiyatlarını alıp BS zımni oynaklığa dönüştürürseniz put skew elde edersiniz. Bu skew nereden gelir?

Q: Kripto için ne zaman Black-Scholes yerine Bachelier kullanırdınız?

Q: Normal vol ile BS vol arasındaki ATM yakınındaki ilişki nedir?

💡 İpucu: Cevabı açıklamadan önce her soruyu kendin cevaplamaya çalış.

Matematiksel sezgi oluşturma

Bachelier modelini sıfırdan öğreninEtkileşimli ders · ön koşul yok

Bu ders, sade bir dille anlatılan zihinsel modelle başlar; ardından normal oynaklığı, fiyatlama formülünü ve düz bir normal smile eğrisinin Black-Scholes terimlerine çevrildikten sonra neden skew olarak görünebileceğini adım adım anlatır.

---

Ayrıca bakınız:

• Black-Scholes -- Lognormal karşılık
• CEV Modeli -- Beta parametresi aracılığıyla normal ile lognormal arasında köprü kurar
• SABR Modeli -- Normal-lognormal spektrumunu seçmek için beta kullanır
• Displaced Diffusion -- Sıfıra yakın dayanak varlıkları ele almanın bir başka yolu
• Zımni Oynaklık -- Hangi modeli seçtiğinize bağlı olan kavram
• Skew -- Model artefaktlarını piyasa özelliklerinden ayırma